2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.2.2　椭圆的简单几何性质(二)

知识自主预习

新知初探

知识点1. 点与椭圆的位置关系

【思考】类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？

【答案】当P在椭圆外时，＋>1；

当P在椭圆上时，＋＝1；

当P在椭圆内时，＋<1.

【要点】设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：

 

知识点2.　直线与椭圆的位置关系

【思考】直线与椭圆有几种位置关系？

【答案】有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.

【要点】(1)判断直线和椭圆位置关系的方法

将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离.

(2)根与系数的关系及弦长公式

设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长.

下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若点P(x0，y0)在椭圆＋＝1的内部，则有＋<1.(　　)

(2)直线y＝x与椭圆＋＝1(a>b>0)不一定相交．(　　)

(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆＋＝1相切．(　　)

【答案】(1)√　(2)×　(3)√

2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)

A．相离　　　　　　 B．相切

C．相交 D．无法确定

【解析】[联立Error!消去y，得3x2＋2x－1＝0，

Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．

【答案】C　

3.若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是(　　)

A.－1        B.          C.－1或1         D.－或

【解析】因为椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，

所以b＝1或－1.

【答案】C

4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________.

【解析】∵点A在椭圆内部，

∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.

【答案】(－，)　

5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

【解析】由Error!

消去y并化简得x2＋2x－6＝0.

设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.

∴弦长|MN|＝|x1－x2|

＝＝＝.]

【答案】　

 

题型多维探究

题型1　点、直线与椭圆位置关系的判断

角度1　点与椭圆位置关系的判断

【例1】已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为________.

【解析】据题知＋>1，

解得k<－或k>.

【答案】(－∞，－)∪(，＋∞)