2.2.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.2　椭圆

2.2.1　椭圆及其标准方程

知识自主预习

新知初探

知识点1. 椭圆的定义

【思考】1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？

【答案】在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.

【要点】(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}.

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

 

 

知识点2　椭圆的标准方程

【思考】若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？

【答案】以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.

【要点】　(1)椭圆标准方程的两种形式

 

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

 

(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距|F1F2|＝2.

【要点】

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　)

(2)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．(　　)

(3)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．椭圆+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8[来源:Zxxk.Com]

【解析】∵a2=25,∴a=5,2a=10.

设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.

【答案】D

 

3.设B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1(y≠0)   B.＋＝1(y≠0)

C.＋＝1(y≠0)   D.＋＝1(y≠0)

【解析】　由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，则椭圆方程为＋＝1.当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形.因此，顶点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0).

【答案】A

4.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)

A.1       B.3         C.0          D.－2

【解析】　当k＝1时，原方程可化为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意.

【答案】　A

5.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为____________.

【解析】　据题知＋＝1，它的焦点位于y轴上，

且c＝，故两焦点分别为(0，－)，(0，).

【答案】　(0，－)，(0，)

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1椭圆定义的应用

【例1】点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．

【解】方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．

【方法总结】椭圆定义的应用

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．

【变式训练1】下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；