2.1 曲线与方程-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

第二章 圆锥曲线与方程

2.1　曲线与方程

2.1.1　曲线与方程

2.1.2　求曲线的方程

知识自主预习

新知初探

知识点1.　曲线与方程的概念

【思考】到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？

【答案】y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.

【要点】一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

 ①曲线上点的坐标都是这个方程的解；

 ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

注意:　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.

知识点2.　坐标法思想及求曲线方程的步骤

【思考】曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．

【答案】不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.

【要点】(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

(3)求曲线的方程的步骤

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则

(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.( )

(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.( )

(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上． ( )

(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．( )

【答案】(1) ×(2) ×(3) √(4) ×

2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)

A．在直线l上，但不在曲线C上

B．在直线l上，也在曲线C上

C．不在直线l上，也不在曲线C上

D．不在直线l上，但在曲线C上

【解析】将点M的坐标代入直线l，曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．

【答案】B　

3．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为(　　)

A．x＋y＝4　　　　 B．x－y＝4

C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4

【解析】点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，故选D.

【答案】D　

4.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　)

【解析】　∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.

【答案】　D

5.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.

【解析】设动点P(x，y)，则＝，化简整理得x＝.

【答案】　x＝

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1曲线与方程的概念

【例1】(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是(　　)

A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0

C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0

(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【解析】(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.

(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，