1.4.3 含有一个量词的命题的否定-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.4.3含有一个量词的命题的否定

知识自主预习

新知初探

知识点1.全称命题的否定

【要点】写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x0∈M， (x0).

全称命题的否定是特称命题.

知识点2.特称命题的否定

【要点】写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定.

对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定：∀x∈M， (x).

特称命题的否定是全称命题.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是:对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根 .(　　)

(2) 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为: 所有实数的平方都不是正数.(　　)

(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀xR，x2－3x＋3≤0.(　　)

【答案】(1)√　(2)×　(3)×

2.已知a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是(　　)

A.∃x0≤1，logax0>0   B.∃x0>1，logax0≤0

C.∀x≤1，logax>0   D.∀x>1，logax≤0

【解析】　a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”.

【答案】D

3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　)

A. ：∀x∈A，2x∉B

B. ：∀x∉A，2x∉B

C. ：∃x0∉A，2x0∈B

D. ：∃x0∈A，2x0∉B

【解析】　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为∃x0∈A，2x0∉B.故选D.

【答案】D

4.命题“对任意一个实数x，都有>0”的否定是___________.

【解析】“对任意一个实数x，都有>0”的否定是“存在一个实数x0，使得<0或2x0＋4＝0”，即“存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0”.

【答案】　存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0

5.由命题“∃x0∈R，x＋2x0＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.

【解析】由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.

【答案】1

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1命题的否定

角度1全称命题的否定

【例1】写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

【解】(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.

(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.

(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

【变式训练1】写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.

【解】(1) ﹁p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(2) ﹁p：有些自然数的平方不是正数.

(3) ﹁p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.

(4) ﹁p：存在实数x0，使得x＋1<0.

角度2特称命题的否定

【例2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p：∃x0>1，使x－2x0－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形.

【解】(1) ﹁p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假).

(2) ﹁p：所有的素数都不是奇数(假).

(3) ﹁p：所有的平行四边形都是矩形(假).

【变式训练2】写出下列命题的否定，并判断其真假：

①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

②p：所有的正方形都是菱形；

③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.

【解】①﹁p：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．

因为∀x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．

②﹁p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．

③﹁p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为x＝－1时，x3＋1＝0.

【方法总结】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法

(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．

(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．

(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．

类型2　特称命题、全称命题的综合应用

【例3】　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围.

【解】(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.