1.4.1 全称量词～1.4.2 存在量词-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.4全称量词与存在量词

1.4.1　全称量词~1.4.2　存在量词

知识自主预习

新知初探

知识点1.　全称量词、全称命题

【思考】观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤8；

Q：对所有的m∈R，m≤8.

上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

【答案】语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.

【要点】(1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.

知识点2.存在量词、特称命题

【思考】观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>8；

Q：存在一个m0∈Z，m0>8.

上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

【答案】(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.

【要点】(1)概念

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.

(2)表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

(3)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．(　　)

(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．(　　)

(3) 对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数. (　　)

【答案】(1)√　(2)×　(3) √

2.下列命题中，不是全称命题的是(　　)

A.任何一个实数乘以0都等于0

B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

【解析】D选项是特称命题.

【答案】　D

3.命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2，0)，则(　　)

A.p假q真   B.p真q假

C.p假q假   D.p真q真

【解析】∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选A.

【答案】　A

4.特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)

【解析】不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题.

【答案】假

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1全称命题与特称命题的判断

角度1　全称命题与特称命题的不同表述

【例1】设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；

(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0).

【解】(1)全称命题：

①对所有的自然数x，2x是偶数；

②对一切的自然数x，2x是偶数；

③对每一个自然数x，2x是偶数；

④任选一个自然数x，2x是偶数；

⑤凡自然数x，都有2x是偶数.

(2)特称命题：

①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；

②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；

③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；

④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；

⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数.

【方法总结】利用相应的量词表达相应的命题

全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.

【变式训练1】“有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)

【解析】　依据特称命题的构成易得.

【答案】　特称

角度2　全称命题与特称命题的识别

【例2】　判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

【解】　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.

【方法总结】判断命题是全称命题还是特称命题的方法

(1)分析命题中是否含有量词；

(2)分析量词是全称量词还是存在量词；

(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．

【变式训练2】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题.

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；