1.2 充分条件与必要条件-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.2　充分条件与必要条件

知识自主预习

新知初探

知识点1.充分条件与必要条件

【思考】　用恰当的语言表述下列语句的意义.

①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；

②只有同心协力，才能把事情办好.

【答案】①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.

②同心协力是办好事情的必要条件.

【要点】(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要而不充分条件.

知识点2.充要条件

【思考】在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

【答案】　因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.

【要点】　(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.

(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.

 

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　)

【答案】　(1)√　(2)√　(3)×

2.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的(　　)

A.充分条件   B.必要条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

【解析】　无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄.逆否命题为：若受禄，则有功.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.

【答案】A

3.“k2＝1”是“k＝－1”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分又不必要条件

【解析】k2＝1可得k＝±1，k＝－1一定有k2＝1.

∴“k2＝1”是“k＝－1”的必要不充分条件.

【答案】B

4．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]

【答案】A

5．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c．

【解析】在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．