1.1.2 四种命题～1.1.3 四种命题间的相互关系-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.1.2　四种命题~1.1.3　四种命题间的相互关系

知识自主预习

新知初探

知识点1. 四种命题的概念

【思考】初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

【答案】在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.

【要点】　

 

知识点2.四种命题间的相互关系

【思考】原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

【答案】原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.

【要点】　(1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

 

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“若﹁p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”．(　　)

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．(　　)

(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．(　　)

【答案】　(1)×　(2)√　(3)√

2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

【解析】根据逆命题的定义知，选B.

【答案】B　

3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

【解析】同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.

【答案】A

 

4．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(　　)

A．原命题、否命题　　 B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题

【解析】原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C．

【答案】C　

5．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.

【解析】原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．

【答案】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

题型多维探究

题型1四种命题的关系及真假判断

角度1　四种命题的写法

【例1】　把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等.

【解】(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.

逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.

逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.

逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.

(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.

逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.

逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.

【方法总结】定义法写出各种命题

由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.

【变式训练1】　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.

【解】(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.