第十六章 排列组合和二项式定理 单元测试 (基础过关)-2020-2021学年高三数学第一学期单元测试（沪教版上海专用）

第十六章 排列组合和二项式定理 单元测试 (基础过关) 一、填空题 1．如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种． 2．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答） 3．在的二项展开式中，常数项为______. 4．在的二项展开式中，中间项的系数是___________． 5．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）. 6．有A、B、C、D、E五列火车停在某车站并行的5条火车轨道上.如果快车A不能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，那么这五列火车的停车方法共有________种（用数字作答）； 7．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答） 8．已知集合，且，则集合，，所有可能的情况有__________种. 9．甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示). 10．已知整数数列共5项，其中，，且对任意，都有，则符合条件的数列个数为______. 11．（2020·上海杨浦区·复旦附中高二期末）已知，则等于_______________. 12．对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是______；①；②. 二、单选题 13．（2021·上海高三专题练习）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A． B． C． D． 14．（2021·上海高三专题练习）五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ） A．120种 B．96种 C．78种 D．72种 15．（2020·上海黄浦区·格致中学高三月考）在二项式的展开式中，含有的偶次幂的项之和为，含有的奇次幂的项之和为，则的值为（ ） A． B． C． D． 16．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 三、解答题 17．（2020·上海市大同中学高二期中）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数． （1）女生人数少于男生人数； （2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表． 18．（2020·上海市大同中学高二期中）小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照． （1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？ （2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 19．（2016·上海市复兴高级中学高二月考）晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单： （1）3个舞蹈节目排在一起； （2）3个舞蹈节目彼此分开； （3）3个舞蹈节目先后顺序一定； （4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目． 20．（1）解不等式； （2）已知，求． 21．如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为． （1）求，，的值； （2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集． 22．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广. （1）求的值； （2）设，当为何值时，取得最小值？ （3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由. 23．（2020·宝山区·上海交大附中高二期末）对任意，定义，其中，为正整数. （1）求，的值； （2）求证：； （3）设是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的值，若不存