易错点10 指数函数、对数函数与幂函数模型-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点10 指数函数、对数函数与幂函数模型 一、单选题 1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）参考数据： A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【答案】B 【解析】解：设n年后，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 由题意，知， 得， ， 即，． 又，，故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年． 故选B． 2. 茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】解：选项A中，函数的图象以y轴为对称轴，不符散点图； 选项B中，函数的图象是直线，不符散点图； 选项D中，，与y轴无限接近，与散点图不符． 故选C． 3. 英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，那么经过t小时后物体的温度将满足通过实验观察发现，在的室温下，一块从冰箱中取出的的冻肉经过小时后温度升至，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为的水，冷却到，大约经过的时间为（ ）忽略体积等其它因素的影响 A. 1小时 B. 小时 C. 2小时 D. 小时 【答案】A 【解析】解：依题意，可令代入式子得： ，解得， 又把代入式子得， 故选A． 4. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附： A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，当时，， 当时，， 则C增加的百分比为： ． 故选B． 5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）取， A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】解：由题意，记初始线段长度为，一次构造”后的折线的长度为， 二次构造”后的折线的长度为，， 次构造后的折线的长度为， 则要使得到的折线的长度达到原来的1000倍，应满足， 两边同时取对数得，即得，， 代入数据得， 故至少需要通过构造的次数是25． 故选D． 6. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数n满足：，其中p为扩增效率，为的初始数量已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p约为（ ） 参考数据：， A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意得，当扩增5次后，数量变为原来的10倍得， ， 联立， 得，， ， 即， ， 转换成指数形式，，即， 因为， 所以，即， 故选A． 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系式为，其中，k为正常数．如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了，那么污染物减少到最初含量的还需要经过多长时间（ ）结果四舍五入取整数，参考数据：， A. 11h B. 21h C. 31h D. 41h 【答案】B 【解析】解：因为污染物在前10h的过滤过程中污染物被消除了，所以 污染物减少到最初含量的时，有 所以， 解得， 故还要经过，才可使得污染物减少到最初含量的． 故选B． 8. 人们通常以分贝符号是为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时