易错点09 分段函数模型-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点9 分段函数模型 一、单选题 1. 已知，，，则的最值是（ ） A. 最大值为3，最小值 B. 最大值为，无最小值 C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】C 【解析】解：由得， 若时，等价为， 即，解得． 若时，等价为，  即， 解得或舍去  即当时，， 当时，， 当时，， 则由图象可知 当时，取得最大值，无最小值． 故选C． 2. 已知函数，则满足的实数a的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】解：易知为偶函数， 令，则变形为， 时，，解得，或3； 是偶函数； 时，的解为，或； 综上得，，； 当时，，方程有2解； ，方程有1解； ，方程有2解； ，方程有1解． 当时，方程有6解； 是偶函数，时，也有6解； 综上所述，满足的实数a的个数为12． 故选C． 二、单空题 3. 已知函数若的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】解：时，单调递增，故有， 又值域为R，时，， 故有解得， 故a的取值范围是． 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】解：， ， ． 故答案为：． 推导出，从而，由此能求出结果． 5. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】解：， 故答案为． 三、解答题 6. 某蔬菜销售店每天销售某种新鲜蔬菜，已知销售利润为5元千克．店铺规定：当天凌晨从蔬菜基地进货，如果当天上午未卖出去，那么中午全部降价处理完毕，亏损为2元千克．由市场调查的历史记录，制作出下图所示的频率分布直方图，其中每日市场需求量的分组区间分别为，，，，． 假设以频率分布直方图中各组区间的中点值代表该组的需求量，请估计未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值； 已知店铺的采购员某日购进600千克该种蔬菜，设日需求量为千克，该店铺的日销售利润为y元，求y关于x的函数关系式； 假设以需求量的频率代替其概率，若利润不低于900元就能维持店铺当天的正常开销，试在的条件下求该日店铺能维持正常开销的概率． 【答案】解：由频率分布直方图可知，未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值 千克． 当日需求量x小于600千克时， 元； 当日需求量x大于或等于600千克时， 元，故 由知，当时， 由，得； 当时，． 所以， 其概率为 7. 某商场对A商品近30天的日销售量件与时间天的销售情况进行整理，得到如下数据 时间 2 4 6 8 10 日销售量 38 37 32 33 30 经统计分析，日销售量件与时间天之间具有线性相关关系． 请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回归方程； 已知A商品近30天内的销售价格元与时间天的关系为： 根据中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大． 参考公式： 【答案】解：，， 所以y关于t的线性回归方程 由题意日销售额 当，， 所以当时，元 当，， 所以当时，元 综上所述，估计当天时，A商品日销售额最大值为1600元． 8. 园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场． 已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：． Ⅰ写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润销售收入成本 Ⅱ当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 【答案】解：当时，； 当时， ， 故函数解析式为； 时， ， ， 时， ， 当且仅当即时等号成立， ， 因为 当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为1360万元． 9. 每年的12月31日晚上，数以万计的人涌向重庆解放碑，去听来年的第一声钟声，当天晚上的气球销量也是屡创新高．小明准备在今年12月31日晚上购进一批气球去解放碑商圈售卖，进价为每个5元，然后以每个10元的价格卖出，如果当天卖不完，剩下的气球则以每个3元退回批发商． 若小明购进100个气球，求本次售卖利润单位：元关于当天市场需求两单位：个，的函数解析式； 为了使利润最大化、减少亏损，小明调查了最近10年的12月31日晚上解放碑商圈的气球需求量单位：个的数据，整理得下表： 假设小明考虑购进100个气球或110个气球，分别计算这两种购进方案下最近10年的利润平均数，以此作为决策依据，他