专题12：第四讲 二.用数学归纳法证明不等式举例随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

专题12：第四讲 二.用数学归纳法证明不等式举例随堂练习（解析版） 一、单选题 1．在用数学归纳法证明 的过程中：假设当 EMBED Equation.DSMT4 ，不等式 成立，则需证当 时， 也成立．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令 ，根据求出 的表达式，比较 ，由此求得 的值. 【详解】 当 时， ，而 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ，故选B. 【点睛】 本小题主要考查数学归纳法，考查运算化简能力，考查对比分析能力，属于基础题. 2．证明： ，当 时，中间式子等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析： 时中间式子的最后一项为 ，中间式子为 考点：数学归纳法 3．用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 推导 时，不等式的左边增加的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 准确写出当 时，左边的代数式，当 时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】 解：当 时，左边的代数式为 ， 当 时，左边的代数式为 ， 故用 时左边的代数式减去 时左边的代数式的结果，即 为不等式的左边增加的项， 故选： ． 【点睛】 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 相关的性质，其步骤为：设 是关于自然数 的命题，若①（奠基） 在 时成立；②（归纳） 在 为任意自然数）成立的假设下可以推出 成立，则 对一切自然数 都成立，属于基础题． 4．用数学归纳法证明 这一不等式时，应注意 必须为（ ） A． B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】 根据题意验证 ， ， 时，不等式不成立，当 时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】 解：当 ， ， 时，显然不等式不成立， 当 时， 不等式成立， 故用数学归纳法证明 这一不等式时，应注意 必须为 ， 故选： . 【点睛】 本题考查数学归纳法的应用，属于基础题． 5．用数学归纳法证明：“ EMBED Equation.DSMT4 ”，由 到 时，等式左边需要添加的项是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出 时，左边最后一项， 时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】 解：∵ 时，左边最后一项为 ， 时，左边最后一项为 ， ∴从 到 ，等式左边需要添加的项为一项为 故选：D． 【点睛】 本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 6．已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ， 是数列 的前 项和，若 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出 ， ，再利用数学归纳法证明 即得解. 【详解】 因为 ，所以 适合n=1,所以 . 所以 ， 所以 ， 下面利用数学归纳法证明不等式 （1）当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，不等式成立， （2） ，即 ．即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 假设当 时，原式成立，即 ， 那么当 时，即 ， 即 时结论成立． 根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数 都成立．所以 ， 因为0＜a＜1，所以 ， 所以 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推出 成立”．那么，下列命题总成立的是（　　） A．若 成立，则 成立 B．若 成立，则 成立 C．若 成立，则当 时，均有 成立 D．若 成立，则当 时，均有 成立 【答案】D 【解析】 解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当 成立时，总可以推出 成立，则能推断若 成立，则当 时，均有 成立．其余不成立． 8．用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 由数学归纳法的证明步骤可知：当 时，等式的左边是 ，应选答案D． 9．已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是 ( ) A．P(k)对k=2013成立 B．P(k)对每一个自然数k成立 C．P(k)对每一个正偶数k成立 D．P(k)对某些偶数可能不成立 【答案】D 【解析】试题分析：由已知中命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，并且当n=1000+1时它也成立，可得p（k）对于1～1000内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可. 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N*），