专题08：第三讲 一.二维形式的柯西不等式随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

专题08：第三讲 一.二维形式的柯西不等式随堂练习（解析版） 一、单选题 1．已知： ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用柯西不等式，可得 ,解不等式即可. 【详解】 解:利用柯西不等式，得 , ， 解得 . 故选:B 【点睛】 本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式. 2．实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】 由 得 ，运用柯西不等式有 ，进而得解. 【详解】 解： 实数x、y满足 ， ， ， ， 当且仅当 时取等号， 的最小值是 . 故选：A. 【点睛】 考查柯西不等式的应用，基础题. 3．已知a， ， ，则 的最大值为（ ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】 利用柯西不等式，即可求出 的最大值. 【详解】 由题意， ， 当且仅当 时等号成立， 当 ， 时， 故 的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题. 4．实数 ， ， ， 满足 ， ，那么 的最大值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据柯西不得式 ，直接计算结果. 【详解】 由柯西不等式 等号成立的条件是 ， 所以 的最大值是 . 故选：B 【点睛】 本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型. 5．已知 、 ， ，求 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用柯西不等式可求得 的最大值. 【详解】 ，由柯西不等式可得 ，即 ， . 当且仅当 ， 时， 取得最大值. 因此， 的最大值为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题. 6．函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将 变形为 ，再利用柯西不等式求得 的最小值，从而可求出 的最小值. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 根据柯西不等式， 得 当且仅当 ，即 时等号成立. 此时， ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题. 7．已知 ， ， ，求 的取值范围为（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】 首先分析题目已知 ，求 的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出 的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】 解：由柯西不等式得 ， 当且仅当 时取等号. 则 故选：B. 【点睛】 此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式 应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题． 8．函数 的最大值为（ ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】 利用柯西不等式进行求最值. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 ，即 时，函数有最大值 . 故选：A. 【点睛】 本题考查柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造柯西不等式的模型. 9．若 ， ，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 ， ，且 ，所以 ， 又 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ．故选D． 10．过定点P（1，2）的直线在轴与轴正半轴上的截距分别为，则的最小值为 （ ） A．8 B．32 C．45 D．72 【答案】B 【详解】 分析：由过定点P（1，2）的直线在x轴与y轴的正半轴上的截距分别为 、b，可得 ，b的一个方程，再应用基本不等式求得4 2+b2的最小值． 解答：解：∵ ＞0，b＞0， =1 ∴2 +b=（2 +b）( ) =2+2+ ≥8 当且仅当 = ，即2 =b=4时成立 ∴2（4 2+b2）≥（2 +b）2≥64， ∴4 2+b2≥32当且仅当 4时成立 ∴（4 2+b2）min=32 故选B 二、填空题 11．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为______． 【答案】5 . 【分析】 由二维柯西不等式即可得解. 【详解】 解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3y＝4x时等号成立， ∴25×10≥(3x＋4y)2， 即 ∴(3x＋4y)max＝5 . 故答案为：5 . 【点睛】 本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题. 12．函数 的最大值为_______. 【答案】 【分析】 拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值． 【详解】 ∵ 当且仅当 ，即 时等号成立， ∴函数 的最大值为 故答案为： ． 【点睛】