专题5：6.3.2杨辉三角与二项式系数的性质随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

专题5：6.3.2杨辉三角与二项式系数的性质随堂练习（解析版） 一、单选题 1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 根据杨辉三角数的特征，中间数等于上一行肩上两数之和，即可得出结论. 【详解】 从第三行起头尾两个数均为1， 中间数等于上一行肩上两数之和， 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题，属于基础题. 2． ，则 （ ） A．512 B．1024 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意分别令 和 得到的两个式子相减即可得到结论. 【详解】 解：令 ，得 ； 令 ，得 ； 两式相减得， ， 所以 . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于基础题. 3． ，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ） A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9 【答案】C 【分析】 根据展开式的二项式系数的规律，直接求出即可． 【详解】 解：结合题意可得 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二项式定理展开式的二项式系数的规律，属于基础题 4． 的展开式中， 项的系数为（ ） A．-280 B．280 C．-560 D．560 【答案】C 【分析】 化简二项式展开式的通项公式，令 的指数等于 ，由此求得 项的系数. 【详解】 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，故所求系数为 . 故选C. 【点睛】 本小题主要考查二项式展开式通项公式，考查指数运算，考查组合数的计算，属于基础题. 5．在 （其中 ）的展开式中， 的系数与 的系数相同，则 的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用 的展开式的通项公式，求出 的系数和 的系数，根据题意，列出方程，解方程结合 ，求出 的值. 【详解】 的展开式的通项公式为： ，令 ，所以 的系数为 ，再令 ， 的系数为 ，由题意可知： ，而 ，所以 ，故本题选C. 【点睛】 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 6．(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数和为(　　) A．2n+1 B．2n-1 C．2n+1-1 D．2n+1-2 【答案】D 【解析】 【分析】 令 ，然后利用等比数列前 项和公式求得各项系数和. 【详解】 令 ，代入表达式化简得 ，故选D. 【点睛】 本小题主要考查展开式各项系数和的求法，考查等比数列的前 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.要求展开式中各项的系数和，主要采用的是赋值法，也即是令 ，由此求得的结果就是各项系数的和.要在表达式中识别出等比数列，并利用等比数列的前 项和公式进行求和. 7． 的展开式中x－1的系数为(　　) A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【解析】 的展开式的通项为 ，则 的展开式中 的系数为 ；故选A. 8．已知 展开式中常数项为1120，其中实数 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】 通项为 ， ，即 ，解得 ，当 时，令 ，求得和为 ，当 时，令 ，求得和为 . 9． 已知二项式 展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵ ，∴1＋n＋ ＝56， ∴n2＋n－110＝0，∴n＝10或n＝－11(舍去)．设 的展开式的通项为 ，令 ,得r＝8.∴展开式中的常数项为 .故选A. 10．若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则 +…+ 的值为(　　) A．2 B．0 C．-1 D．-2 【答案】C 【解析】 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a 0＝1. 当 时，左边＝0，右边＝a 0＋ ， ∴0＝1＋ . 即 . 二、填空题 11．以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______. 【答案】 【分析】 根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果. 【详解】 由题意，第0行的数为 ， 第1行的数为 ， 第2行的数为 ， 第3行的数为 ， 第4行的数为 ， 因此，第 行第 个数为： ， 所以第9行第8个数是 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查杨辉三角的应用，属