专题04：第一讲 二 三个正数的算术-几何平均不等式随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

专题04：第一讲 二 三个正数的算术-几何平均不等式随堂练习（解析版） 一、单选题 1．函数y＝|x﹣3|+|x﹣7|的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】 由绝对值三角不等式可得到结果． 【详解】 解：由绝对值的性质得： 当 时，等号成立. 故函数 的最小值为4. 故选：C. 2．关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用绝对值三角不等式，简单计算即可. 【详解】 由 又不等式 的解集不是空集，所以 故选：B 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【分析】 由绝对值的意义直接解不等式即可 【详解】 解：由 ，得 ，解得 ， 故选：B 4．已知关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对 分 两种情况讨论得解. 【详解】 当 时，不等式为 ，即 ； 当 时，不等式为 有解，所以 . 综合得 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先解出集合 ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】 或 ， ， ∴ . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题. 6．已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用绝对值三角不等式求出 的最小值， 即可. 【详解】 解：因为 ，所以 . 要使不等式 对一切 恒成立，只需 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题考查绝对值三角不等式，属于基础题. 7．设 ，且 ，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用绝对值不等式的性质即可求出. 【详解】 解:因为 ，且 ， 所以 ， ， ，故A正确，C，D不正确. 取 ，则 ， ， 故 不成立，故B错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的性质,属于基础题. 8．不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用绝对值三角不等式求出 的最小值即可得到答案. 【详解】 因为 ，当且仅当 即 时，等号成立. 所以“不等式 的解集非空”等价于“ ”. 故选：B. 【点睛】 本题考查了由绝对值三角不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于基础题. 9．已知不等式 对一切 恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用绝对值三角不等式求出 的最小值，m小于等于最小值即可. 【详解】 ， 根据题意可得 . 故选：A 【点睛】 本题考查绝对值三角不等式，属于基础题. 10．若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用绝对值三角不等式求出 的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，即可求出实数a的取值范围. 【详解】 ， 又 对 恒成立， . 故选：D. 【点睛】 此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及绝对值不等式求最值，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目. 二、填空题 11．若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【分析】 根据题意，只需a大于等于f(x)的最大值，利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值即可. 【详解】 设f(x)=|x-4|-|x-3|， 则f(x)≤a对一切x∈R恒成立, 即a大于等于f(x)的最大值. ∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1， 即f(x)max=1，∴a≥1. 故答案为： 12．关于x的不等式 的解集是 ，则实数 _____. 【答案】 【分析】 先根据绝对值不等式的解法得出不等式的解集为 与已知解集比较可得 ，即可求解. 【详解】 由 可得 ， 解得： ， 因为不等式 的解集是 ， 所以 ，解得： 故答案为： 13．方程 的解集为________ 【答案】 【分析】 分类讨论 的范围，最终求出答案. 【详解】 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ， 所以综上所示：方程 的解集为 . 故答案为： . 14．若不等式 对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】 利用绝对值的几何意义即可求实数a的取值范围. 【详解】 ∵由绝对值的几何意义知：对于任意实数x都有 ， ∴ 对所有实数x恒成立，则必有 ， 故答案为： .