专题03：第一讲 一.3三个正数的算术-几何平均不等式随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

专题03：第一讲 一.3三个正数的算术-几何平均不等式随堂练习（解析版） 一、单选题 1．设 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用三元基本不等式可得结果. 【详解】 由 ，所以 故选：A 2．若 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 将 变形为 ，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当 即 时等号成立，取得最小值6. 故选：C 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 3．已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为　(　　) A．3 B．2 C．12 D．12 【答案】C 【分析】 利用三元的均值不等式即可求得最小值． 【详解】 ， 当且仅当 时等号成立，故选C． 【点睛】 一般地，如果 是正数，那么 （当且仅当 时等号成立），进一步地， （1）如果 （定值），那么 有最小值 ，当且仅当 时取最小值； （1）如果 （定值），那么 有最大值 ，当且仅当 时取最大值． 4．若x>0，则4x＋ 的最小值为（ ） A．9 B．3 C．13 D．12 【答案】B 【分析】 利用均值不等式进行求解即可. 【详解】 因为x>0， 所以有4x＋ EMBED Equation.DSMT4 （当且仅当 时，取等号，即当 时，取等号）. 故选：B 【点睛】 本题考查了均值不等式的应用，考查了数学运算能力. 5．对一切正数 ，不等式 恒成立，则常数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用均值不等式求出 的最小值即可. 【详解】 由题意， ， ，当且仅当 时等号成立 要使不等式 恒成立，则 故选：B 【点睛】 本题考查的是利用均值不等式求最值，较简单. 6．设x，y，z∈R+，且x+y+z=6，则lg x+lg y+lg z的取值范围是（ ） A．(-∞，lg 6] B．(-∞，3lg 2] C．[lg 6，+∞) D．[3lg 2，+∞) 【答案】B 【分析】 利用三元不等式以及对数的运算性质、对数函数的单调性即可求解. 【详解】 x，y，z∈R+，且x+y+z=6， 则 ， 所以 ， 所以 ， 故选：B 【点睛】 本题考查了三元不等式的应用、考查了运算求解能力，属于基础题. 7．函数 的最小值是（ ）． A． B． C．1 D．不存在 【答案】B 【分析】 首先函数变形为 ，再根据基本不等式求函数的最小值. 【详解】 ， ， 当 ， 时等号成立. 故选：B 【点睛】 本题考查基本不等式，重点考查公式，计算能力，属于基础题型. 8．定义在R上的偶函数 ，当 时， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：当 时，有函数解析式可知函数为增函数， 的解为 ，又 为偶函数，所以在图像关于y轴对称，因此 的取值范围是 考点：1.函数奇偶性；2.函数单调性解不等式 9．函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用三个数的均值不等式求解． 【详解】 ∵ ， ∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立． 故选：A． 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，特别要注意等号成立的条件是否满足． 10．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析： ； 考点：1．分式不等式的解法； 二、填空题 11．求函数 EMBED Equation.DSMT4 的值域______________． 【答案】 【分析】 利用三元基本不等式求函数值域，注意等号成立条件是否在定义域内. 【详解】 由 ，则 当且仅当 时等号成立， ∴函数值域为 . 故答案为： . 12．不等式 的解集为___________． 【答案】 【解析】 试题分析： , 所以原不等式的解集为 ． 考点：对数函数单调性． 13．函数 的最小值为_____________． 【答案】9 【解析】 ,当且仅当x=2时，取得取小值，最小值为9. 14．设正数x，y满足x6+y2 4x2，则x+2y＝_____． 【答案】3 【分析】 对等式x6+y2 4x2，变形为4 ，运用基本不等式进行运算即可. 【详解】 ∵正数x，y满足x6+y2 4x2， ∴4 ∵x4 4， 故只有等号成立，此时 ，解可得x＝y＝1 则x+2y＝3． 故答案为：3 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 三、解答题 15．问题：当 时，求 的最小值． 【答案】 【分析】 化简 ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 当 时，则 ， 当