专题1.15 不等式选讲-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题1.15 不等式选讲 1．从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 2．解绝对值不等式的常用方法： （1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式； （2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)； （3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解； （4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. ②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|. （5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. 3．不等式的证明 （1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明. （2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立. 1．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围． 【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）利用绝对值的性质，用分类讨论思想进行求解即可；（2）根据基本不等式，利用已知，求出代数式的最大值，最后利用绝对值的性质进行求解即可． 【解析】（1）原不等式为， 当时，得，得，所以． 当时，得成立，所以， 当时，，所以． 综上得不等式的解集为． （2）因为为正实数，并且 ，当时取等号，当时等号成立， 所以的最大值． 因为，当时取到等号， 要使恒成立，只需． 所以或． 2．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，若对任意，都存在，，使得，求实数的取值范围． 【试题来源】江西省九所重点中学（玉山一中、临川一中等）2021届高三3月联合考试 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题意可得，分类讨论当， ，时的情况，进而可得结果．（2）由含有绝对值不等式的性质可得，由基本不等式可得，即，时等号成立，进而可得结果． 【解析】（1）当时，不等式即为① 当时，①化为无解， 当时，①化为，从而 当时，①化为无解 所以原不等式的解集为 （2） 当且仅当，即，时等号成立 所以，所以或，所以的取值范围为 3．已知函数=． （1）当时，求不等式的解集； （2）证明：2． 【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三第一次教学质量检测（一模） 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【分析】（1）当时，，利用零点分域法分、、三种情况取绝对值解不等式；（2）利用绝对值三角不等以及基本不等式即可求证． 【解析】（1）当时，． 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上所述：的解集为或． （2）， 当且仅当时等号成立，所以2． 4．已知函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若关于的不等式有解，求的取位范围． 【试题来源】河南省金太阳2021届高三下学期3月联考（I卷）文数试题 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由绝对值的定义，求得不等式的解集，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）由转化为有解，令，得到，结合分段函数的性质，求得函数的最小值，即可求解． 【解析】（1）由，可得，可得，解得， 因为的解集为，所以，解得． （2）由题意，可得， 所以有解等价于有解． 令，则， 因为， 当时，，所以，即的取