专题1.14 坐标系与参数方程-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题1.14 坐标系与参数方程 1．参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决． 2．参数方程与普通方程的互化 （1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． （2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响． 3．极坐标和直角坐标的互化 （1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 4．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： （1）先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； （2）根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题． 5．直线参数方程的三个应用 已知倾斜角为的直线经过点，则直线的参数方程为（为参数），已知直线、为直线上的两个点，对应的参数分别为、． （1），，； （2）线段的中点对应的参数为； （3）若线段的中点为，则且． 1．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”． （1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标； （2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标． 【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高考第一次质量普查调研考试（一模） 【答案】（1）和；（2）最小值为1，． 【分析】（1）直接利用单位圆与方程联立即可求解；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点到直线的距离即为最小值 【解析】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为， 所以联立，得或， 所以所求交点的极坐标为和． （2）直线的直角坐标方程为， “四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得， 连接且与直线垂直且交于点， 所以点与点M的距离的最小值为1． 【名师点睛】本题解题的关键点是数形结合判断出点到直线的距离最小． 2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，直线的方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）将直线的方程化为普通方程，曲线的方程化为直角坐标方程； （2）若直线过点且交曲线于，两点，设线段的中点为，求． 【试题来源】甘肃省2021届高三第一次高考诊断 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据参数方程，消去参数即可求解；将曲线的极坐标方程两边同时乘以，根据即可求解． （2）将点代入可得，将直线的参数方程代入的直角坐标方程，设，，对应的参数分别为，，，得出，利用参数的几何意义即可求解． 【解析】（1）由直线的参数方（为参数）， 消去参数可得其普通方程为． 曲线的极坐标方程， 即，化为直角坐标方程为． （2）直线过点，所以，所以，所以．直线的参数方程为， 代入，可得． 设，，对应的参数分别为，，，则， 所以． 3．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程和的直角坐标方程； （2）若直线与交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），直线与直线交于点，求． 【试题来源】河南省金太阳2021届高三下学期3月联考（I卷）文数试题 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）消去参数，即可得出直线，将两边同时乘以，根据即可求解．（2）将直线的参数方程分别代入与，利用参数的几何意义即可求解． 【解析】（1）将直线的参数方程，消去参数，得． 在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得， 转化为直角坐标方程为． （2）曲线是圆，它的标准方程为， 所以与交于点，另一点的横坐标在内，所以交点的坐标为． 直线的直角坐标方程为， 与直线的参数方程（为参数）联立， 解得，由直线参数方程中参数的几何意义得． 将的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，解得或，所以， 所以，从而． 4．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线的普通方程及直线的极坐标方程； （2）直线与曲线和直线分别交于，（，均异于点）两点，求的取值范围． 【试题来源】河南省新乡市2021届高三第二次模拟考试 【答案】（1）曲线，直线；（2）． 【分析】（1）根据消参法，将曲线C的方程化为普通方程，由直角坐标与极坐标关系，将直线普通方程化为极坐标方程即可．（2）由（1）知，，即可求的范围． 【解析】（