考点44 双曲线-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点44 双曲线 知识理解 一．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 二.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． “焦点位置看正负，焦点随着正的跑”. 三．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称中心：(0,0) 对称轴：x轴，y轴 对称中心：(0,0) 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 四．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． 例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 考向一 双曲线的定义考向分析 【例1-1】（2021·浙江省德清县第三中学）已知双曲线的左､右焦点分别为､，若点在的右支上，且，则（ ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以 故选：B 【例1-2】．（2020·河北张家口市）已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为（ ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 【答案】C 【解析】由题意，得 当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支； 当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C 【例1-3】．（2021·全国课时练习）已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________. 【答案】4 【解析】由双曲线方程知：， 在△PF1F2中，由余弦定理知： ， ∴，而， ∴. 故答案为：4. 【方法总结】双曲线定义 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线． (2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 【举一反三】 1．（2021·上海普陀区）设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由双曲线可得 根据双曲线的定义可得： 故选：C 2．（2021·上海市）已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．一条射线 D．双曲线的右支 【答案】C 【解析】由两点和，动点满足， 所以动点的轨迹是一条射线.故选：C 3．（2021·浙江省宁海中学高三月考）在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则，所以 故选: A 4．（2021·全国高三专题练习）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________ 【答案】 【解析】双曲线，则，所以， 利用双曲线定义知， ， 两边平方得，且， 由余弦定理， 解得：，则. 故答案为： 考向二 双曲线的标准方程 【例2-1】（2021·福建龙岩市）“”是“方程表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示双曲线，