训练55 直线与双曲线的位置关系-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练55 直线与双曲线的位置关系 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）》 线C交于A,B两点，点P是C上异于A,B的一 1.(2024·安徽蚌埠模拟)直线y=2x十m与双曲线 点，若OP=入OA+O店，则入的值为 4x2一y2=1的交点情况是 A.-2 B.-3 A.恒有一个交点 C.-4 D.-5 B.可能有两个交点 二、多项选择题（每小题6分，共18分） C.至多有一个交点 7.(2024·广东茂名二模)已知双曲线C:4x2-y2 D.可能有三个交点 1,直线l:y=kx十1(k>0),则下列说法正确的是 () 2.(2024·四川成都期末)已知双曲线x- =1,过 3 A.若k=2,则1与C仅有一个公共点 点P(2,1)作一条直线交双曲线于A,B两点，若P B.若k=2√2，则1与C仅有一个公共点 为AB的中点，则直线AB的斜率为 ( C.若1与C有两个公共点，则2<k<2√2 A.3 B.4 D.若1与C没有公共点，则k>2√2 C.5 D.6 8.(2025·江西九江高三翔中)过双曲线C:子 3若集合A=化x-置-1，B=x) 1的右焦点作直线1与该双曲线交于A,B两点，则 y=2x+1},则A∩B所含元素的个数为( () A.0 B.1 A.存在四条直线1，使IABI=6 B.存在直线1，使弦AB的中点为M(4,1) C.2 D.3 C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲 4.已知双曲线C: y b2 =1(a>0,b>0)的-条 线的标准方程为兰、之 2016 =1 渐近线方程是y=√2x,过其左焦点F(一√3,0)作 D.若A,B都在该双曲线的右支上，则直线1斜率的 斜率为2的直线1交双曲线C于A,B两点，则截得 的弦长|AB|= ) 取值范足，一)U停+ A.25 B.4√5 9.直线1与双曲线E:x2-y =1的左、右两支分别交 9 C.10 D.10√2 于A,B两点，与E的两条渐近线分别交于C,D两 5已知F是双面袋C号-茶=1a>06>0>的 x2 y2 点，A,C,D,B从左到右依次排列，则 () A.线段AB与线段CD的中心必重合 左焦点，P(0,w√6a),直线PF与双曲线C有且只有 B.IAC |BD 一个公共点，则双曲线C的离心率为 ( C.线段AC,CD,DB的长度不可能成等差数列 A.√2 B.5 D.线段AC,CD,DB的长度可能成等比数列 三、填空题（每小题5分，共15分） C.2 D.√6 10.(2024·安徽芜湖模拟)已知A,B为双曲线x2一 2.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C: 9=1上两点，且线段AB的中点坐标为（一1， y 1(b>0)的焦距为26，直线1：y=x-√6与双曲 4),则直线AB的斜率为 得分 (横线下方不可作答) 369 第八章平面解析几何 11.直线3x-2y+6=0与曲线义-x1x1-1的 14.(20分)(2025·辽宁鞍山期末)已知双曲线C: 0 4 3.x2-y2=1,直线y=ax+1与双曲线C相交于 公共点的个数是 得分 A,B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a 12.已知双曲线C:x2一y2=1的左、右焦点分别为 的值以及弦长|AB. 得分 F1,F2,直线1：y=2x-m与C相交于A,B两点， 若△F1AB的面积是△F,AB面积的3倍，则m= 得分 四、解答题（共37分） 13.(17分)已知双曲线E的两个焦点分别为F1(-2, 0),F2(2,0),并且E经过点P(2,3).得分 (1)求双曲线E的方程： (2)过点M(0,1)的直线1与双曲线E有且仅有 一个公共点，求直线1的方程. 红对勾·讲与练370] 高三数学·基础版 ■.1PF=4a,PF2=2a. PF1PF2=0,.(4a)2+(2a)2 (2c)2,.e= (2)由1)知，双曲线的方程为后 =1，则渐近线的方程为y y 士2x.不妨设P1(x12x1),P2(x2, -2x2),P(xy),OP1·OP2= 27 9 -3x1x2=- 4xx2= 41 :2PP+PP2=0, 2x1十x2 3 2(2x1-x2) 3 点P在双曲线上， （2x1+x(2x1-x) =1, 9a 9a' 化简得x1x?= 9a 9a2 9 88=4 a2=2,.双曲线的标准方程为 81. 2- 14,解：)设双曲线的方程为。一方 1,由题意可知点(40，一80)，(20,10) 在双曲线上，所以 1600_6400=1, a a2=8000, 40_10=1, 解得 21 b2=2000, 因为最小直径圆面是以双曲线的实 轴为直径的圆面， 所以此圆面的面积为πa= 21π（平方米）. 8000 (2)由(1)得双曲线。 8000 2000=1 21 的一条渐近线方程为y三2之·其 斜率k= W21 2, 设直母线与下口圆面所在平面的夹 角为a,主钢梁的长度为m米， 由题意知直母线1与渐近线其中一条 平行， 则tana=k,因为冷却塔的高为 90米，所以sina= 90 k2 m Vk2+1 k2+1 所以m=90√2 =90X 21 +1 4 3 21 =150√7 ≈98.25，即主 4 钢梁的长度约为98.25米 训练55直线与双曲线的 位置关系 1.C将y=2x+m代入4x2-y2=1, 得41.x十m2十1=0.当m=0时，方 程无解；当m≠0时江=1十m,所以 -4m 至多有一个交点.故选C 2.D设A(x1y1),B(x2y2),则有 -=1与-普=1，两式相减 3 得(x{-x)- (信-)=0即 (x1-x2)(x1十x2）- y2)(y1十y2)=0,又因为P(2,1)为 AB的中点，所以4(x1一x2) 0)=0,得到二兰=6. 2 x1一x2 即直线AB的斜率为6.故选D. 3.B双曲线工2-二=1的渐近线方程 4 为y=士2x,则直线y=2x十1与双 曲线的一条渐近线平行，所以直线y= 2x十1与双曲线仅有一个公共点.故 选B. x2y2 4.C:双尚线C:-方=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是y=√2x, 么=2，即b=2a.:左焦点 F(-√5,0)，c=√5，c2=a2十 b2=3a2=3,∴.a2=1,b2=2,.双 曲线C的方程为z2-号=1.直线1的 方程为y=2(x十3).设A(x1y1), y=2(x十3)， 消去 y可得x2十4√3x+7=0,.x1十 x2=-4V5,x1x2=7,:AB= √1+2·√(x1十x2)-4x1x?= 1+4×/48-28=√5×√20= 10.故选C. 5B双曲线之y a-62 =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为y=士 F(-c,0),P(0,√6a),所以直线PF的 针车为吕=巴，周为直线F 与双曲线C有且只有一个公共点，所 以直线PF与双曲线的一条渐近线 b y- —平行，听以D区—一，甲 c 6a2=bc,所以6a1=b2c2,又c2= a2+b2,所以6a1=(c2-a2)c2=c1 a2c2,所以e1-e2-6=0,所以e= √3.故选B. 6.C由题知2c=2√6，解得c=√6，又 a2=5,.b2=c2-a2=6-5=1, 六双曲线C:5)=1,由 5一)=1'消去y并整理得红 y=x-√6， 10√6x+35=0,易知△>0，设A(x1, ),B(x2y),则x1+x2=5V5」 2 x1x2= 5.设O币=（红y 4 OP=AOA+OB,即(x3y3)= (Ax1十x2Ay1十y2), {亿1十x心p为双曲线C」 上一点，x号-5y号=5，即（入x1十 x2)2-5(y1十y2)=5,整理得 A'(xi-5yi)十(x号-5y)十 2A(x1x2-5y1y）=5.A(x1y1), B(x2y2)在双曲线C上，x 5yi=5,x2-5y2=5.:x1x2- 5y1y2=x1x2-5(x1-V6)(x2 W6)=-4x1x2十5W6(x1+x2) 30=一4×4 35+56×20-30=10y ,.入2十4入=0，解得λ=一4或λ=0， 点P异于A,B两点，.入=一4.故 选C. 7.ABD因为双曲线的方程为4x一 y2=1,所以其渐近线方程为y 士2x,又因为直线l:y=kx十1过定 点(0,1)，所以当k=2时，直线1与双 曲线C有且只有一个公共，点，故A正 确：联立4x1·消去y得。 ly =kx+1, (4-k)x”-2kx-2=0,当直线l与 双曲线C相切时，方程只有一个实数 根，△=(-2k)2十8(4-k2)=0,且 4一k2≠0，解得k=±22，又k>0, 所以k=2√2，所以当k=2√2时，直 线！与双曲线C有且只有一个公共点， 故B正确；若（与C有两个公共点，则 14-k2≠0， △=(-2k)2十8(4-k2)>0,解得 k>0, 2<k<2W2或0<k<2,故C错误： 若与C没有公共点，则 14-k2≠0， △=(-2k)2+8(4-k2)<0. 1k>0, 解得k>2√2，故D正确.故选ABD. 8.ACD设A(x1y1),B(x2y2),对于 A,通径= 2b2 =56,实轴长2a= Q 4<6,故有四条直线1，使AB=6, 故A正确；对于B,假设存在直线l,使 弦AB的中点为M(4,1),则直线l的斜 率存在，设直线的方程为y一1= 之兰=1联立，消去 k(x-4),与4一5 得(5-4k2)x2十(32k2-8k)x 64k2+32k一24=0，△>0恒成立，则 271十x2=86-32k =8,所以k=5. 5-4k2 所以直线方程为y一1=5(x一4)，但 是由于右焦点(3,0)不在直线上，故不 存在这样的直线，故B错误；对于C, 设与该双曲线有相同渐近线的双曲线 的搭准方程为 _y2 =入，将点(8， 5 10)的坐标代入可得入=一4，所以该 参考答案567 双曲线的标准方程为一石1，故C 正确；对于D,设直线l的方程为x= y+3联片- y =1·消去工，得 x=my十3， (5m2-4)y2+30my+25=0,△>0 恒成立，则y1十y?= -30m 5m2-4'y1y 25 5m24:芳A,B都在该双曲线的右支 25 上，则y1y:=5m2-4 <0,即5m 4<0,设直线1的斜率为k,则5一 4<0,解得∈(，-）)U (怎，十e)D正瑞.故选ACD 9.ABD由题意知直线l的斜率存在，设 直线l:y=kx十m,A(x1y1),B(x2, y2),C(xy),D(x1y1),联立 y=kx十m, =1.消去，得(9-6)z x2y2 2kmx-m2-9=0,于是x1十x2= 9-k2x1x2=-m2十9 2km 9一6，联立 y=kx十m, x2-y2 得(9-k2)x2-2kmx =0, 9 m2=0,于是x3十x1= 2km 9-k3x3x1= m2 9-,所以x1十 4 D∠ x2=x3十x1,因此 P/ A 线段AB与线段 CD的中点必重合， A正确；如图，设中 点为P,则PA=PB,PC= |PD|,所以|AC=BD|,B正确： 假设线段AC,CD,DB的长度成等差 数列，则AC十DB=2CD,所 以AB=3CD,于是x1- x2=3x一x1,两边同时平方并 整理得(x1十x2)尸-4x1x,=9[(x十 -]于() -4× -m2-9 9-k2 =[() -4X 9-,展开整理得8m2十k2=9,该 -m27 方程有解，所以存在直线1，使得线段 AC,CD,DB的长度成等差数列，C错 误；同上推理，当线段AC,CD,DB的 长度相等时，线段AC,CD,DB的长度 成等比数列，D正确.故选ABD. 10.9 解析：设A(x1y1),B(x2y2),则 -=1, 9 两式相减得(x1十x2)· x-=1, 9 x1-x)=+-),由线 9 568红对构·讲与练·高三数学· 段AB的中点坐标为（一1，一4），得 -2(x1-x2)= -8(y1-y2) 9 x1-x24 11.2 解析：当x≥0时，曲 线女-x=1, 9 4 4=1,表示 双曲线右半部分，其 一条渐近线方程为 3 y=22,直线3x 2y十6=0与渐近线 平行；当x<0时，曲线 9 22 x=1,即。十 =1,表示椭 4 国的左半部分，画出曲线。 工x=1和直线3x-2y十6=0， 4 如图所示，根据图可知有2个公共，点 12.42 解析：依题意，双曲线C:x2一y2=1 的左、右焦点分别为F1(-√2,0)， F,(√2,0)，设F到直线AB的距离为 d1,F2到直线AB的距离为d2,则d1= 二25-md,=25m,因为 5 √5 △F1AB的面积是△F,AB面积的3 倍，所以d1=3d2,即-2W2-m= 32√2-m,解得m=V2或m= 4浆立本程知化有去 y,整理得3x2-4mx十m2+1=0,则 △=16m2-12(m2+1)>0,可得 m2>3,所以m=4√2. B解：D设双曲线E的方程为名 y? =1(a>0,b>0),则 c=2, a=1·所以双 下4一8=1，解得b2=3, c2=a2+b2, 曲线E的方程为x2一 31 (2)当直线1的斜率不存在时，显然不 合题意， 所以可设直线l的方程为y=kx十1， y=kx十1， 联立 (3-k2)x2-2kx-4=0(*), ①当3一k2=0,即k=√3或k= 一√3时，方程（￥）只有一解，所以直 线1与双曲线E有且仅有一个公共 点，此时，直线！的方程为y= 士√3x+1: ②当3一k2≠0，即k≠士√3时，要使 直线！与双曲线E有且仅有一个公共 基础版 点，则△=(-2k)2-4(3-2)· (一4)=0，解得k=士2，此时，直线l 的方程为y=士2x+1. 综上所述，直线1的方程为y= 士√3x十1或y=士2x十1. 14.解：设A(x1y1),B(x2y2),联立 仁销去鉴理得行 a2)x2-2ax-2=0(3-a2≠0)， 因为直线y=ax十1与双曲线C相交 于A,B两点， 所以△=4a2十8(3-a)>0,即 a2<6,所以a2≠3且a2<6, 由根与系数的关系可得x1十x?= 2 3ax1x,=3-a 因为OA⊥O,所以OA.O店= x1x2十y1y2=x1x2十(ax1十 1)(ax2十1)=(a十1)x1x2 a(x1十x2)十1= =2(a2+1)+2a+1= 1-a9 3-a2 380, 解得a=士1，满足△>0，由弦长公 式可得AB=√1十a·x1 x2=V2·√(x1十x2)-4x1x2= · /2a 8 √3=a)+3a=E× 4 8 √3-1)+3=而. 训练56抛物线的标准方程 及简单几何性质 1.B抛物线y=2x2的标准方程为 x2= 20=子好力= ,所 以焦点皇标为®，日），液线方载为 1 y= 8,所以焦点到准线的距离为 子故选R 2.B由于抛物线C:y2=1x过点(2， V5),所以5=2m,m= ,所以抛物 5 5 所以地场线的准线方家为红=一。故 选B. 3.B由题意得点F(1,0),PQ⊥PF, P.P下=0，设Q(xoyo),即 Q(w)小则（件。-2小1-2） 0小等-2。一2》=0解得 x0=4,则QF=xo十1=5.故选B. 4.D如图，设正三角y 形的边长为2a,由题 意可知正三角形的 另外两个顶点关于x 0 轴对称，其坐标分别 是(3a,a),(5a, -a),把（√3a,a)代