专题05 已知零点个数求参数范围的方法-2020-2021学年高中数学之导数解题技法全指导

已知零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，一般有下面三种做法，现结合实例阐述如下： 例1.已知函数,若函数有两个零点，求实数a的取值范围。 分析1：函数有两个零点转化为对应方程有两个根，进一步转化为函数与函数的交点个数。 解法1：函数的定义域为，所以“函数在内有两个零点”，等价于“方程在区间内有两个不同实数根”，即“方程在区间内有两个不同实数根”。故上述问题可转化为函数与函数的的图像在内有两个不同交点。，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数。故，又 当时，；当时，。由图像知要使直线与函数 的图像有两个交点，则。故实数a的取值范围为。 点评1：用此种方法时，要注意自变量x趋近两端时，函数值的变化趋势。 分析2：函数有两个零点转化为对应方程有两个根，进一步转化为函数与函数的交点个数。 解法2：函数的定义域为，所以“函数在内有两个零点”，等价于“方程在区间内有两个不同实数根”，即“方程在区间内有两个不同实数根”。故上述问题可转化为函数与函数的图像在内有两个不同交点。令过原点与函数的图像相切的直线的斜率为k,画图可知。设切点为，由得，，所以，又 ，所以，，于是，。故实数a的取值范围为。 点评2：此种方法往往与切线有关，注意切线方程的求法。 分析3：直接转化为函数的图像与x轴的交点个数，讨论求出参数a的范围。 解法3：函数的定义域为，。 当时，，在上是增函数，不会有两个零点，不合题意。 当时，令，得，在上，在上， 所以，又时，；时，。要使有两个零点，则有，即，，所以。 故实数a的取值范围为。 点评3：用此种方法要注意如何分类讨论。 变式：已知函数． （1）讨论f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22． 解：（1）＝（x﹣1）ex+a（x2﹣x）＝（x﹣1）（ex+ax） ，，f（x）的极值点的个数即的变号方程根的个数，令，，故g（x）在（0，1）上单调递减（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，且当x＜0时，g（x）＜0． 即，根据与的交点个数可得： 当a＞0时，f（x）有2个极值点，当﹣e≤a≤0时，f（x）只有1个极值点， 当a＜﹣e时，f（x）有3个极值点． （2）因为f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），所以，且x2＝1，即得，要证，即x1x3＜1， 由，得，设，k＞1，，所以x3﹣x1＝lnk， 联立，得所以， 所以要证x1x3＜1，只需，k＞1， 则有，即，则需证明． 令，t＞1，即需证明． 因为恒成立， 所以h（t）在t∈（1，+∞）上是单调递减函数，则有， 即成立，所以x1x3＜1，即得以证明． 小试牛刀 1．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 1.A ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，则x，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ － ＋ y  c＋2  c－2  因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2. 2．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________. 2.(－2,2) f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；当－1<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调减．∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2<a<2. 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（） A．若，则函数没有极值 B．若，则函数有极值 C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是 D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 3.ABD 由题意得，函数的定义域为，且， 当时，恒成立，此时单调递减，没有极值， 又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， ∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减， 在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于， 当x趋近于时，趋近于， 当，即时，有且只有一个零点； 当，即时，有且仅有两个零点， 综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD． 4．已知函数． 若，则的极大值点为____________；若有3个极值点，则实数的取值范围是____________． 4.， 当时，，，