专题04 利用单调性解不等式、比较大小的方法-2020-2021学年高中数学之导数解题技法全指导

利用单调性解不等式、比较大小的方法 利用单调性解不等式或比较大小，常需要构造函数，构造的函数一般与已知的不等式（推出构造函数的单调性）和所要解的不等式有关。要构造函数的常见形式有三种。 ⑴加乘型：题目常见形式 原函数 导函数 ⑵减除型：题目常见形式 原函数 导函数 ⑶带常数型：题目常见 原函数 导函数 一、利用单调性解不等式 例1．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（） A． B． C． D． 变式．定义在上的函数满足，且，则的解集为_________． 例2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式．的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为_________． 二、利用单调性比较大小 例3．以下四组不等式中正确的是 A． B． C． D． 变式．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（） A． B． C． D． 小试牛刀 1．已知是定义在上的函数，其导函数为，，且时，，则不等式的解集为_________． 2．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________． 3．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________． 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为_________． 5．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为_________． 6．不等式的解集为_________． 7．已知定义域为的函数满足，，其中为的导函数，则不等式的解集为_________． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 利用单调性解不等式、比较大小的方法 利用单调性解不等式或比较大小，常需要构造函数，构造的函数一般与已知的不等式（推出构造函数的单调性）和所要解的不等式有关。要构造函数的常见形式有三种。 ⑴加乘型：题目常见形式 原函数 导函数 ⑵减除型：题目常见形式 原函数 导函数 ⑶带常数型：题目常见 原函数 导函数 一、利用单调性解不等式 例1．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（） A． B． C． D． 分析：首先根据已知不等式和所要解不等式构造函数。 解析：令， 则， 所以在上单调递增，又因为， 所以，即不等式的解集是，故选C 点评： 还可构造函数为。 变式．定义在上的函数满足，且，则的解集为_________． 解析：. 令，则， 因为定义在上的可导函数满足， 所以在上恒成立，所以在上单调递增； 又，所以，因此，当时，，所以， 当时，，所以，故答案为． 例2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 分析：根据题意，设，分析可得为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不等式等价于，结合函数的单调性可得，解可得a的取值范围，即可得答案． 解析：根据题意，设，其定义域为R， 则，则为奇函数，又由，则在R上为增函数，故，必有， 解得，即a的取值范围为．故选C． 点评：利用函数奇偶性、对称性等和单调性解不等式问题： （1）是奇函数，图象关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可； （2）是偶函数，图象关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可． 变式．的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为_________． 解析： 构造函数，该函数的定义域为， 由于函数为偶函数，则，所以，函数为偶函数．， 当时，，则，所以，函数在上为增函数， ，可得，由可得，即，