专题03 由函数单调性求解参变量的范围的方法-2020-2021学年高中数学之导数解题技法全指导

由函数单调性求解参变量的范围的方法 由函数单调性求解参变量的范围，可分为下面两种类型 一、已知函数在某区间上单调求解参变量的范围 做这类题目有两种方法。方法一：转化为不等式恒成立问题；方法二：转化为集合间的包含关系问题。 对于方法一，当在某个区间上为增函数时，有在该区间上恒成立；当在某个区间上为减函数时，有在该区间上恒成立。接下来又分离参变量和不分离参变量两条思路，恒成立问题又常转化为最值问题。好分离参数的题目，先分离参数再求最值比较好，不好分离参数的题目，要讨论参数求最值。 对于方法二，如函数在上单调，则区间是相应单调区间的子集。 例1．已知函数 （1）讨论的单调区间； （2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围。 变式.设函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。 二、已知函数在某区间上不单调求解参变量的范围 函数在区间D上不单调，则导函数在该区间D上有解。 例2.若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（） A． B． C． D． 变式．函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是_________． 三、已知函数在某区间上存在单调增（减）区间求解参变量的范围 例3．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 变式．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_______. 小试牛刀 1．已知函数在内为增函数，则的取值范围为_________． 2．已知在单调递减，则的取值范围为_________． 3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________． 5．若函数在区间(-2，-1)内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_________． 6．已知函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为_________． 7．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_________． 8．已知函数(e为自然对数的底数)是上的增函数，则实数的取值范围是_________． 9．若函数在区间单调递增，则的取值范围是_________；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_________． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 由函数单调性求解参变量的范围的方法 由函数单调性求解参变量的范围，可分为下面两种类型 一、已知函数在某区间上单调求解参变量的范围 做这类题目有两种方法。方法一：转化为不等式恒成立问题；方法二：转化为集合间的包含关系问题。 对于方法一，当在某个区间上为增函数时，有在该区间上恒成立；当在某个区间上为减函数时，有在该区间上恒成立。接下来又分离参变量和不分离参变量两条思路，恒成立问题又常转化为最值问题。好分离参数的题目，先分离参数再求最值比较好，不好分离参数的题目，要讨论参数求最值。 对于方法二，如函数在上单调，则区间是相应单调区间的子集。 例1．已知函数 （1）讨论的单调区间； （2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围。 分析：求参数范围往往是先转化为集合的包含关系或恒成立问题，还是转化为恒成立问题更多些。 解：（1）。 当，即时，，的单调增区间为； 当，即或时，求得两根为， 即的单调增区间为和，减区间为 。 （2）方法一（恒成立分离参数利用最值）：若函数在区间内单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立。令，则，在上为减函数，在上为增函数，又，。，。所以的取值范围为。 方法2（恒成立不分离参数利用最值）：若函数在区间内单调递减，则在上恒成立。。 所以的取值范围为。 方法3（转化为集合间的包含关系）：由（1）知，的减区间为，又函数在区间内单调递减，故， 故，解得。所以的取值范围为。 点评：方法三思路好理解些，但解题过程中牵扯到无理不等式的解法，故不好解，所以一般此类题目一般不用此解法。方法一、方法二是转化为恒成立问题，方法一是分离参数后再求最值，方法二是不分离参数，直接求函数的最值，一般情况下，方法一简单些，但对于本题方法二比方法一简单些。 变式.设函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。 变式.解：（1）， ； （2）方法一：若函数在区间内单调递增，则在内恒成立，即，只要，即。又，所以的取值范围是。 方法二：由（1）知，。若函数在区间内单调递增，则有，。， 则有。所以的取值范围是。 二、已知函