专题02 求含参数的函数的单调性的方法-2020-2021学年高中数学之导数解题技法全指导

求含参数的函数的单调性的方法 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 例1．已知函数．讨论的单调性； 变式．已知函数．讨论函数的单调性； 例2：已知函数，求导函数，并确定的单调区间。 变式：设函数，求函数的单调区间 例3：已知函数，()讨论的单调性。 变式.已知函数，讨论的单调区间； 例4. 已知函数.讨论的单调性。 变式.设函数（，实数）， 讨论函数的单调性。 小试牛刀 1.已知函数，求f（x）的单调区间。 2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．求函数f(x)的单调递增区间； 3.已知函数，求函数的单调区间。 4.设函数.若,求的单调区间。 5.设函数求函数的单调区间 6.已知函数,，讨论函数的单调性。 7.已知函数,其中，求的单调区间。 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 求含参数的函数的单调性的方法 往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。 例1．已知函数．讨论的单调性； 分析：求得函数的定义域为，，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调性； 解：由题易知的定义域为，． 当时，恒成立，因此在上单调递减； 当时，令，得；令，得． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减。 点评：本题是分导数恒负（或正）和可正可负两种情形讨论。 变式．已知函数．讨论函数的单调性； 解：函数的定义域为，， ①若时，，此时函数在上单调递增； ②若时，令，可得，，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 例2：已知函数，求导函数，并确定的单调区间。 分析：按根的大小讨论。 解：。 ①； ②； ③。 变式：设函数，求函数的单调区间 解： ①； ② ； ③。 例3：已知函数，()讨论的单调性。 分析：按⊿讨论。 解：，令，⊿。 1 当⊿，即时，，即，所以在上单调递增； 2 当⊿，即时，令，得。令， 得或，递增；令， 得。 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在单调递减。 点评：注意根的大小与定义域端点实数的大小比较。 变式.已知函数，讨论的单调区间； 解：（1）。 当，即时，，的单调增区间为； 当，即或时，求得两根为， 即的单调增区间为和， 减区间为。 例4. 已知函数.讨论的单调性。 分析：求导后，先通分，再分解因式。先讨论二次项系数的正负，再讨论根的大小，以及根与定义域端点实数的大小。 解：， ， ⑴当时，。令，即；令， 即。故函数在为减函数，在上为增函数。 ⑵当时，令得，。 ①当，即时，， 所以函数在上为减函数。 ②当，即时，令，得；令， 得。所以函数在和上为减函数，在上为增函数。 ③当，即时，令，得；令， 得。所以函数在和上为减函数，在上为增函数。 ④当，即时，。令，即； 令，即。故函数在为增函数，在上为减函数。 综上，当时，函数在为减函数，在上为增函数；当时， 函数在和上为减函数，在上为增函数；当时，函数在上为减函数；当时，函数在和上为减函数，在上为增函数；当时，函数在为增函数，在上为减函数。 点评：讨论单调区间时，一般先求导，再通分，能分解因式的，尽量分解因式，这样便于表示出方程的根，便于后来讨论根的大小，不能分解因式的，导数与二次函数有关的一般按判别式来讨论。导数与二次函数有关的，一般先讨论二次项系数的正负，再讨论根、定义域端点实数的大小，或判别式的情形。判别式一般分小于等于0和大于0两种情形。 变式.设函数（，实数）， 讨论函数的单调性。 解：， （）。 设。 ⑴当时，。令，可得；令，可得。 在上单调递减，在上单调递增。 ⑵当时，函数图像开口向下，在上有两个零点1和。 ①当，即时，，在单调递减。 ②当，即时，令，可得； 令，可得或。在和上单调递减， 在上单调递增。 ③当，即时，令，可得； 令，可得或。在和上单调递减， 在上单调递增。 综上，当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增。 小试牛刀 1.已知函数，求f（x）的单调区间。 1.解：， 。 ①当，即时，在上，所以函数的增区间为。 ②当，即时，在上，在上， 所以函数的增区间为，减区间为。 2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．求函数f(x)的单调递增区间