热点专题16 分段函数+分段数列（19题热点2）-备战2021年高考数学二轮复习热点考题精华篇（上海专用）

热点专题16 分段函数+分段数列（19题热点2） 一、解答题 1．设函数是偶函数. （1）求实数的值及； （2）设函数在区间上的反函数为，当时，（且）时，求实数的取值范围. 2．已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 3．设数列的首项，且，记，． （1）求； （2）判断是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求． 4．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由； （2）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围. 5．已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 6．已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前n项和； （3）若对恒成立，求的最小值. 7．已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”． 8．在无穷数列中，，且，记的前n项和为. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：中必有一项为1或3. 9．数列，满足，，； （1）求证：是常数列； （2）若是递减数列，求与的关系； （3）设，，当时，求的取值范围． 10．数列，满足，； （1）求证：是常数列； （2）若是递减数列，求与的关系； （3）设，求的通项公式. 11．已知数列满足：，，. （1）求的值； （2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式； （3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由. 12．已知数列的前n项和为，且，； （1）若，求证：； （2）若，求； （3）若，求的值． 13．已知函数，，其中， （1）当时，求使得等式成立的的取值范围； （2）当时，求使得等式成立的的取值范围； （3）求的区间上的最大值. 14．设为正整数，规定：，已知； （1）设集合，对任意，证明：； （2）求的值； 15．已知函数满足． （1）求常数的值 ； （2）解不等式． 16．定义符号函数，已知，. （1）求关于的表达式，并求的最小值. （2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围. （3）已知存在，使得对任意的恒成立，求的取值范围. 17．已知函数 （1）已知，求实数a的值； （2）判断并证明函数在区间上的单调性． 18．已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有. （1）求的通项公式； （2）设，（），求的前项和； （3）在（2）的条件下，若数列满足.是否存在实数，使得数列是单调递增数列.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19．设为实数，函数， （1）若，求的取值范围； （2）当时，试判断函数在上的单调性，并证明． 20．已知函数，，其中. （1）当时，求函数的值域； （2）若对任意，均有，求的取值范围； （3）当时，设，若的最小值为，求实数的值. 21． 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. （1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降； （2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,, .当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 22．已知函数 (1) 求函数的反函数； (2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程的三个实数根满足: ，且，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 5 页 $ 热点专题16 分段函数+分段数列（19题热点2） 一、解答题 1．设函数是偶函数. （1）求实数的值及； （2）设函数在区间上的反函数为，当时，（且）时，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）根据偶函数的对称性，先得到，再利用偶函数的概念求解当时的解析式； （2）先利用反函数的概念求解出的值，再求解不等式的解集.解：（1）因为函数为偶函数，所以定义域关于原点对称且，则， 当时，，则，， 故. （2）函数在区间上的反函数为， 则，即， 即，则或，即或 则实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查偶函数的性质及根据奇偶性求解函数的解析式，考查反函数的概念，难度一般.解答时要紧扣奇偶性的概念及就函数的性质求解，注意利用原函数与反函数的关系. 2．已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）时，.