精做05 解析几何-备战2021年高考数学（理）大题精做

精做05解析几何 一、圆锥曲线的方程 【例1】（2020·全国高三专题练习（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； （2）焦点在轴上，且经过两个点和； （3）经过点和点. 【详解】 (1)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为()， ∴，， ∴， 故所求椭圆的标准方程为； (2)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为(). ∴，，故所求椭圆的标准方程为； (3)设椭圆方程为(，且)， 则得， ∴所求椭圆的标准方程为. (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． (2) 求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算． (3) 求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论． 【对点训练1】（2020·全国高三专题练习（理））求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程. 二、直线与圆锥曲线 (一)弦中点与点差法的应用 【例2】（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，，设动点形成的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的轨迹方程，并证明斜率为的一组平行直线与曲线相交形成的弦的中点在一条直线上； （Ⅱ）曲线上存在关于直线对称的相异两点和，求线段的中点的坐标. 【详解】 （Ⅰ）， 点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线， 曲线的方程为， 设点为其中任意一条斜率为的直线与曲线的两个交点， 设线段的中点为，则， 则， ， ， ， 所以这组斜率为的平行直线与曲线相交形成的弦的中点在直线上； （Ⅱ）设点，则， 则， ， 又关于直线对称， ，即， ， 又的中点一定在直线上， ， 线段的中点坐标为． 在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率kAB＝，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程． 【对点训练2】（2021·湖北高三期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，且左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，在点的运动过程中，有且只有个位置使得为直角三角形，且的内切圆半径的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线交椭圆于，两点，记的中点为，求点到直线的距离的最大值. (二)直线与圆锥曲线位置关系及弦长问题 【例3】（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））如图所示，已知椭圆的左､右焦点分别为､，且，点M在直线上运动，线段与椭圆C的交点为N，当轴时，直线的斜率的绝对值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点P在椭圆C上，若直线的斜率与直线的斜率之积等于，证明：直线始终与椭圆C相切. 【详解】 （1）由，即， ∵当轴时，直线的斜率的绝对值为， ∴，即，而且， ∴，故，得， ∴椭圆方程为. （2）由（1），，结合题设，令且，，， 设椭圆C上过P点的切线方程，以下证明该方程确为椭圆切线方程： ∴联立方程，整理得， ∴，又， ∴，即为椭圆切线方程， ∴由，即，得，代入切线方程， 得，故切线方程必过M点. 综上，直线始终与椭圆C相切，得证. (1)直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． 若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． (2) 解决直线与圆