专题05 直线的参数方程-2021年高考数学极坐标与参数方程全突破（文理通用）

圆的参数方程 1、 例题讲解 1.（2020-2021·江西·月考试卷） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数，且）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为. 求的极坐标方程； 设曲线的直角坐标方程为，以为直角顶点的等腰直角三角形的顶点，均在上．若在第二象限，直线交于点，求. 【答案】解：由题意得, 又，所以，所以的极坐标方程. 因为是等腰直角三角形，所以是曲线的直径，且,所以， 直线的极坐标方程为,所以,所以 .   2.（2020-2021·宁夏·月考试卷） 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.  已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为． 求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程； 若点在圆上，求的取值范围． 【答案】解：由直线的参数方程为（为参数）， 可得直线的直角坐标方程为，即，则直线过，且倾斜角为. 由，可得，两边同时乘以，得， 即. 由可得，圆的参数方程为则， 又，所以，即．   3.（2020-2021·甘肃·月考试卷） 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，直线的方程为：（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：． 将直线的方程化为普通方程，曲线的方程化为直角坐标方程； 若直线过点且交曲线于，两点，设线段的中点为，求． 【答案】解：由直线的参数方程  （为参数）， 消去参数可得其普通方程为： . 曲线的极坐标方程，即为， 化为直角坐标方程为：  . 直线过点，所以，所以，所以． 直线的参数方程为  代入，可得. 设对应的参数分别为，则， 所以 .   4.（2020-2021·吉林·月考试卷） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； 曲线与相交于，两点，求的值． 【答案】解：曲线的普通方程为，即极坐标方程为． 曲线的直角坐标方程为，即． 曲线的极坐标方程为，代入，可得， 则．   5.（2020-2021·四川·月考试卷） 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 （为参数）． 写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； 已知点，直线与曲线交于，两点，求的值． 【答案】解：，即， 将，代入，即可得曲线的直角坐标方程为， 由（为参数），消去参数，得到，故直线的普通方程为． (2) 在直线，且直线的倾斜角，直线的参数方程可化为（为参数）， 代入曲线得：， 设、两点所对应参数分别为，，则，，故与异号， ．   6.（2020-2021·甘肃·月考试卷） 在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 求直线的普通方程和的直角坐标方程； 若直线与交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），直线与直线交于点，求． 【答案】解：将直线的参数方程消去参数，得， 在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得转化为直角坐标方程为 曲线是圆，它的标准方程为，所以与交于点，另一点的横坐标在内， 所以交点的坐标为．直线的直角坐标方程为， 与直线的参数方程  （为参数）联立，解得， 由直线参数方程中参数的几何意义得 将的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程， 解得或，所以，所以， 从而．  7.（2020-2021·江西·月考试卷） 已知曲线的方程为，曲线的参数方程为(为参数)． 求的参数方程和的普通方程；  设点在上，点在上，求的最小值． 【答案】解：曲线的参数方程为(为参数). 由曲线的参数方程为(为参数)，得， 即曲线的普通方程为． 设，点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值， 因为， 其中， 当时，的最小值为，所以|的最小值为．   8.（2020-2021·山西·月考试卷） 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为. 求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； 点的极坐标为，设直线与曲线的交点为，，且的中点为，求线段的长． 【答案】解：由题意可知曲线的普通方程为， 直线的直角坐标方程为． 点的直角坐标为.设直线的参数方程为代入曲线的普通方程得. 设点，对应的参数分别为，，则点对应的参数为， 故． 二、实战演练 1.（2020-2021·河南·月考试卷） 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系. 求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标； 过点的直线与曲线相交于，两点，若，求的值. 【答