2021届山西省太原市高三模拟考试（一模）数学（理）试卷（PDF可编辑）

太原市 2021 年高三年级模拟考试（一） 数学试题（理）参考答案及评分标准 一．选择题： 1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D 二．填空题： 13. 2 xy 14. 35 15. 13)12( 1 3 1,3   n n n n b 16. 2 1023  三.解答题： 17.解：选择条件① 3 2cos C . （Ⅰ）证明：由 CbAc sin4sin3  和正弦定理得 ba 43  ， …………2分 由 3 2cos C 和余弦定理得 2 22222 24 925 23 2 b cb ab cba     ， …………4分 cb  ， ABC 为等腰三角形； …………6 分 （Ⅱ）由（1）得 cbba  ,43 ， 3 2cos C ， 3 5sin  C ， 52 9 52sin 2 1 2   cCabS ABC ， 4,3  abc ， …………9分 DABD 2 ， 1,2  DABD ， BBDaBDaCD cos2222  3 28cos222  CBDaBDa ， 3 212 CD . …………12 分 选择条件② 9 1cos A . （Ⅰ）证明：由 CbAc sin4sin3  和正弦定理得 ba 43  ， …………2分 由 9 1cos A 和余弦定理得 bc bc bc acb 18 79 29 1 22222     ， …………4分 cb  或 cb 7 9  （舍去）， ABC 为等腰三角形； …………6分 （Ⅱ）由（1）得 cbba  ,43 ， 9 1cos A ， 9 54sin  A ， 52 9 52sin 2 1 2   bAbcS ABC ， 4,3  abc ， …………9 分 DABD 2 ， 1,2  DABD ， AADbADbCD cos2222  3 28  ， 3 212 CD . …………12 分 18．解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为 6 5 18 15 1 p ， 4 3 40 30 2 p ， 21 11 42 22 3 p ，因为 321 ppp  ，所以老年人更倾向于选 择报团游； …………4 分 （Ⅱ）由题意得 X 所有可能的取值为 2,1,0 ， …………5 分 35 22)0( 3 15 3 13  C CXP ， 35 12)1( 3 15 1 2 2 13  C CCXP ， 35 1)2( 3 15 2 2 1 13  C CCXP ， X 的分布列为 X 0 1 2 P 35 22 35 12 35 1 5 2 35 12 35 121 35 220 EX ； …………9 分 （Ⅲ）由上表可知，报团游的满意率为 67 45 223015 151812 4   p ， 自助游的满意率为 3 1 20103 641 5   p ，因为 54 pp  ，故建议他选择报团游．…………12 分 （答案不唯一，言之有理即可给分） 19.（Ⅰ）证明：连结 BG，由题意得 BG与GD共线，且 GDBG 2 ， E 是 BC的中点， FCBF 3 ， F 是CE的中点， 2 EF BE GD BG ， DFGE // ， //DF 平面 PGE， …………2 分 H 是 PC的中点， PEFH // ， //FH 平面 PGE， …………4 分 FFHDF  ，平面 //DFH 平面 PGE； …………6分 （Ⅱ） 2 ACAB ， 22BC ， 222 8 BCACAB  ， ACAB  ， ACPB  ， BPBAB  ， AC 平面 PAB， …………8分 以 A为坐标原点，向量 ACAB, 的方向为 x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 xyzA ，由题意得 )0,0,0(A ， )0,0,2(B ， )0,2,0(C ， )3,0,1(P ， 设 ),,( 111 zyxm  是平面PAC 的一个法向量， 则       ,0 ,0 APm ACm       ,03 ,02 11 1 zx y 令 11 z ，则      ,3 ,0 1 1 x y )1,0,3( m ， ……9分 设 ),,( 222 zyxn  是平面 PBC 的一