专题2 培优点9 平面向量数量积的最值问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点9　平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例　(1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)， ·＝·(－1，t－4) ＝17－≤17－2＝13， 当且仅当t＝时等号成立． ∴·的最大值等于13. (2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________． 答案　5－2 解析　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)， 设P(2cos θ，2sin θ)， 则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)， 其中0<tan φ＝<，所以0<φ<， 当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2. 数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 1．在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是________． 答案　 解析　由·＝－1， 得||·||·cos 120°＝－1， 即||·||＝2， 所以||2＝|－|2＝2－2·＋2 ≥2||·||－2·A＝6， 当且仅当||＝||＝时等号成立， 所以||min ＝. 2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 答案　　 解析　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°， 所以·＝||·||·cos 120°＝－， 解得||＝1. 因为，同向，且BC＝6， 所以＝，即λ＝. 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O， 则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝. 以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系． 如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧， 则N(a＋1,0)，且－≤a≤. 又D， 所以＝，＝， 所以·＝a2－a＋＝2＋. 所以当a＝时，·取得最小值. 3．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________． 答案　2 解析　在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上， 所以||·||·cos A＝－1， 所以cos A＝－，所以A＝120°， 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以A(0,0)，B(2,0)，D. 设M，－≤x≤， 因为＝，＝， 所以·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋ ＝(x－1)2－. 设f(x)＝(x－1)2－，因为x∈， 所以当x＝－时，f(x)取得最大值2. $