第4章 专题6 极点与极线探秘（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线 121 专题 6 极点与极线探秘 第一讲 极点和极线的定义及极点与极线的作图 极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高 考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然 也会成为高考试题的命题背景． 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样， 才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律． 一 极点和极线的定义和性质 在圆锥曲线方程中，以 xx0 替换 2x ，以 2 0 xx + 替换 x，以 0y y替换 2y ，以 0 2 y y 替换 y ，即可得到点 ),( 00 yxP 的 极 线 方 程 ． 已 知 圆 锥 曲 线 2 2: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F      ， 则 称 点 0 0( , )P x y 和 直 线 0 0 0 0: ( ) ( ) 0l Ax x Cy y D x x E y y F       是圆锥曲线的一对极点和极线． 从定义我们共同思考和讨论几个问题: 1．若点 ),( 00 yxP 在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么? （1）对于椭圆  ba b y a x  12 2 2 2 ，与点 ),( 00 yxP 对应的极线方程为 12 0 2 0  b yy a xx ；当 ),( 00 yxP 为其焦点 )0,(cF 时，极线 12 0 2 0  b yy a xx 变成 c ax 2  ，恰是椭圆的右准线． （2）对于双曲线 12 2 2 2  b y a x ，与点 ),( 00 yxP 对应的极线方程为 12 0 2 0  b yy a xx ；当 ),( 00 yxP 为其焦点 )0,(cF 时，极线 12 0 2 0  b yy a xx 变成 c ax 2  ，恰是双曲线的右准线． （3）对于抛物线 22pxy  ，与点 ),( 00 yxP 对应的极线方程为 )( 00 xxpyy  ．当 ),( 00 yxP 为其焦点 )0,2 ( pF 时，极线 )( 00 xxpyy  变为 2 px  ，恰为抛物线的准线． 2．过椭圆上（外、内）任意一点 ),( 00 yxP ，如何作出相应的极线？ （1）当点 P在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点 P点处的切线； （2）当点 P在外时，其极线 l是曲线从点 P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）； （3）当点 P在内时，其极线 l是曲线过点 P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹． 为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物 线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为 该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部． 注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里 不作详述． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线 122 二 极点与极线的作图（几何意义） 如图 1，设 P是不在圆锥曲线上的一点，过 P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 , , ,E F G H ，连接 ,EH FG交于 N，连接 ,EG FH 交于M ，则直线MN 为点 P对应的极线．若 P为圆锥曲线上的点，则过 P点 的切线即为极线．由图 1 同理可知， PM 为点 N对应的极线， PN 为点M 所对应的极线．因而将MNP称 为自极三点形．设直线MN 交圆锥曲线于点 ,A B两点，则 ,PA PB恰为圆锥曲线的两条切线． 图 1 图 2 如图 2，设点 P关于圆锥曲线的极线为 l，过点 P任作一割线交于 ,A B，交 l于Q，则 PA PB AQ BQ  ①； 反之，若有①成立，则称点 ,P Q调和分割线段 AB，或称点 P与Q关于调和共轭，或称点 P (或点Q )关于 圆锥曲线的调和共轭点为点Q (或点 P )．点 P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P的极线． 注意：关于分割和调和分割问题，在《秒 1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考． 图 3 配极原则：点 P关于圆锥曲线的极线 p过点 Q 点Q关于的极线 q经过点 P；直线 p关于的极点 P在 直线 q上直线 q关于 的极点Q在直线 p．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线． 极点极线垂直定理:如图 3，设