专题13圆与函数相似三角函数综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专用）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版） 专题13圆与函数相似三角函数综合问题 【考点1】圆与三角函数综合问题 【例1】（2020•镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点． （1）求证：四边形ABEO为菱形； （2）已知cos∠ABC，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长． 【变式1-1】（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． （1）求⊙O的半径； （2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长； （3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值． 【变式1-2】（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC＝　30　°； （2）求正五边形GHMNC的边GC的长． 参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7． 【变式1-3】（2019•镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　． 【考点2】圆与相似综合问题 【例2】（2019•苏州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE•DA＝DC2； （3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值． 【变式2-1】（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长． 【变式2-2】（2020•吴江区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求证：△BOD∽△EOB； （3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB，求的值． 【变式2-3】（2020•江都区三模）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，交AB于点Q，若OP∥BC，且OP＝6，⊙O的半径为2，求BC的长． 【考点3】圆与二次函数综合问题 【例3】（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：yx2x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧） （1）则m＝ 　，n＝　 　． （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M． ①求圆心M的坐标； ②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）． 【变式3-1】（2020•江都区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）． （1）a＝　　，b＝ 　，c＝ 　； （2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标． 【变式3-2】（2020•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上， （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积． 【变式3-3】（2020•新北区一模）如图，二次函数yx2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC． （1）求该二次函数的关系式； （2）经