专题13 圆与函数相似三角函数综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（山东专用）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（山东专用） 专题13圆与函数相似三角函数综合问题 【考点1】圆与三角函数综合问题 【例1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF． 【变式1-1】（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB，DF＝5，则BC的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式1-2】（2020•滨州）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　 　． 【变式1-3】（2020•莒县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB＝5，sin∠BAD，求AD的长； （3）试探究FB、FD、FA之间的关系，并证明． 【变式1-4】（2019•济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DH＝9，tanC，求直径AB的长． 【考点2】圆与相似综合问题 【例2】（2020•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC． （1）求证：AC是∠DAB的角平分线； （2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长． 【变式2-1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF． 【变式2-2】（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H． （1）求证：直线DH是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长． 【变式2-3】（2019•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：①BC是⊙O的切线； ②CD2＝CE•CA； （2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积． 【变式2-4】（2019•莱芜区）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若CDAD，求的值． 【考点3】圆与二次函数综合问题 【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PCPA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 【变式3-1】（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点． ①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值； ②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2020•淄川区二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧． （1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标； （2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y＝kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．