专题3.7 以概率统计为背景的解答题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第七关 以概率统计为背景的解答题为解答题 【名师综述】 1.本专题在高考中的地位  统计概率是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对概率统计的考查都非常突出，每年必考一个 解答题。 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度 [来源:Z.xx.k.Com]  统计与概率是高中数学的重要内容,也是便于贴近生活立意的高考大题。高考主要考查排列组合,二项式定理,随机抽样,用样本估计总体,变量的相关性,随机事件的概率,古典概型,几何概型,回归分析,独立性检验,离散型随机变量的分布列期望、方差,正态分布。考查重点是用样本估计总体,古典概率,离散型随机变量的分布列、期望、方差,应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力。试题强调应用性,以实际问题为背景,构建数学模型,突出考查统计与概率的思想和考生的数据能力及应用意识。 类型一  离散型随机变量的分布列、均值与方差 典例1（2021·山东青岛市·高三一模）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动．今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包 （十斤肉类）礼包（十斤蔬菜）和礼包 （十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券根据以往经验得知，会员购买礼包 和礼包 的概率均为 ． （1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理； （2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包 或礼包 均可以获得50元商场代金券，购买礼包 可以获得25元商场代金券，设 是三人获得代金券金额之和．求 的分布列和数学期望． 【答案】（1） （斤）；（2）分布列见解析；期望为 ． 【分析】 （1）计算出买礼包 的概率，然后简单计算即可. （2）写出 的所有可能取值并计算出相对应的概率，然后列出分布列，最后根据期望公式计算即可. 【详解】 （1）会员购买礼包 的概率为 ， ∴准备鸡蛋： （斤） （2） 的所有可能取值为：150，125，100，75 ， ， ∴ 的分布列如下 150 125 100 75 ∴ ． 【举一反三】（2019·重庆市第十一中学校高三月考（理））新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会. （1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由） （2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是 .请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？ 【答案】（1）选择放弃作答；（2）72 【解析】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0； 若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，其分布列为： ξ 5 P 所以 ，故应该选择放弃作答； （2）由题意知，可以排除一个选项的题目有 道， 设这9道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为X，其分布列为： X 5 P 所以： ； 可以排除两个选项的题目有 道， 设这6道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y，其分布列为： Y 5 P ； 完全不会的题目有 道， 由（1）知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0． 因此，小明在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是： ． 类型2    概率与统计的综合应用   典例2 （2021·山东济宁市·高三一模）垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）： 能正确进行垃圾分类 不能正确进行垃圾分类 总计 55岁及以下 90 30 120 55岁以上 50 30 80 总计 140 60 200 （