专题3.6 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第六关 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题 【名师综述】 1.本专题在高考中的地位  导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度 [来源:Z.xx.k.Com] 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用 类型一   用导数研究函数的性质    典例1 【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数的极小值大于，求实数的取值范围． 【解析】（1）定义域为 单调递增区间为 时，由 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递减区间为： 单调递增区间： 故： 单调递增区间是 单调递增区间是 单调递增区间是 单调递减区间是单调递增区间为 （2）由（1)知:当时，函数的极小值点，此时 令 时，递增，时递减 又   要使得则有， 又的取值范围为 【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式 和定义域求交集得单调递增区间；解不等式 和定义域求交集得单调递减区间. 2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断. 3、求函数的极值，先求 的根 ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值. 4、求函数的最值和求极值类似，先求 的根 ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值. 【举一反三】（2020·山东高三期末）已知函数 ，其中 . （1）求函数 的单调区间； （2）讨论函数 零点的个数； （3）若 存在两个不同的零点 ，求证： . 【答案】（1）增区间为 ， ，减区间为 （2）见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）函数 的定义域为 , EMBED Equation.DSMT4 , 令 ,得 或 , 因为 ,当 或 时, , 单调递增； 当 时, , 单调递减, 所以 的增区间为 , ；减区间为 （2）取 ,则当 时, , , 所以 ； 又因为 ,由（1）可知 在 上单调递增,因此,当 , 恒成立,即 在 上无零点.； 下面讨论 的情况： ①当 时,因为 在 单调递减, 单调递增,且 , , , 根据零点存在定理, 有两个不同的零点； ②当 时,由 在 单调递减, 单调递增,且 ， 此时 有唯一零点 ； ③若 ,由 在 单调递减, 单调递增, , 此时 无零点； 综上,若 , 有两个不同的零点；若 , 有唯一零点 ；若 , 无零点 （3）证明：由（2）知, ,且 , 构造函数 , , 则 EMBED Equation.DSMT4 , 令 , , 因为当 时, , , 所以 又 ,所以 恒成立,即 在 单调递增, 于是当 时, ,即 , 因为 ,所 , 又 ,所以 , 因为 , ,且 在 单调递增, 所以由 ,可得 ,即 类型2    导数、函数与不等式    典例2 已知函数 ． （1）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围； （2）令 ，是否存在实数 ，当 （ 是自然常数）时，函数 的最小值是3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（3）当 时，证明： ． 【答案】（1） ；（2）存在实数 ，使得当 时 有最小值3；（3）详见解析． 【解析】（1） 在 上恒成立， 令 ，有 得 ，得 ． （2）假设存在实数 ，使 有最小值3， ①当 时， 在 上单调递减， （舍去），[来源:学。科。网] ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ∴ ，满足条件． ③当 时， 在 上单调递减， （舍去）， 综上，存在实数 ，使得当 时 有最小值3． 【名师指点】证明不等式 成立，可以构造函数 ，通过证明函数 的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数 最小值不易，可以通过特例法，即证明 的最小值大于等于 的最大值即可． 【举一反三】（2020·山东高三期末）已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ，曲线 在点 处的切线在y轴上的截距为 . （1）求a； （2）讨论函数 EM