专题3.5 以数列与不等式相结合的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第五关 以数列与不等式相结合的综合问题 【名师综述】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题． 类型一 求数列中的最值问题 典例1【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）求使成立的最小正整数的值. 【解析】（Ⅰ）令得，，解得. 又由知 ， 故数列是首项，公差的等差数列， 于是，. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 于是 . 令，易知是关于的单调递增函数， 又，， 故使成立的最小正整数的值是10. 【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求． 【举一反三】（2019·济南市历城第二中学高三月考（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 ，并求 的最小值． 【答案】（1） ，（2） ，最小值为−16． 【解析】（I）设 的公差为d，由题意得 ．由 得d=2． 所以 的通项公式为 ． （II）由（I）得 ． 所以当n=4时， 取得最小值，最小值为−16． 类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 典例2 （2021·山东日照市·高三一模）在①已知数列 满足： ， ②等比数列 中，公比 ，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题. （1）求数列 的通项公式； （2）设 数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求正整数 的最大值. 【答案】选择条件①（1） ；（2）2022；选择条件②（1） ；（2）2022. 【分析】 （1）选①根据等比数列的定义知 为等比数列，求出首项即可求出通项公式；选②根据公比及求和公式列出方程求出首项即可； （2）由（1）知 ，可知 ，由错位相减法求和 ，由不等式恒成立转化为求最值即可. 【详解】 （1）选择条件①， 设等数列 的首项为 .公比为 ， 依题意， ，得 为等比数列，所以， ， ， 解之得 ； ∴ 选择条件②，设等比数列 的首项为 ， 公比 .前5项和为62， 依题意， ， ， 解之得 ， ∴ . （2）因为 ， 所以 ① ② 1－②得 ， 所以 . 因为 ， 所以数列 单调递增， 最小，最小值为 . 所以 . 所以 . 故正整数 的最大值为2022. 【名师指点】求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 在定义域为 ，则当 时，有 恒成立 ； 恒成立 ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得． 【举一反三】【福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测】在数列中，，，设， （Ⅰ）求证数列是等差数列，并求通项公式； （Ⅱ）设，且数列的前项和，若，求使恒成立的的取值范围. 【解析】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，， 所以，，所以， 又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列的通项公式为：. 证法二：由条件，得 又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故数列的通项公式为：. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 则，① ② 由①-②得， ∴ ∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立. ∵， ∴. 类型三 数列参与的不等式的证明问题 典例3（2021·山东德州市·高三一模）已知数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）得到当 时， ，然后与原式联立，可得 ，然后验证 是否满足即可. （2）根据（1）中条件可得 ，然后使用裂项相消求和并简单判断即可. 【详解】 （1）由题意： ① 当 时， ② ①－②得 ，即 ， 当 时， 满足上式， 所以 ． （2）因为 ， 所以 ， 所以 又 ，所以 ． 【名师指点】此类不等