专题3.4 以解析几何中与圆相关的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第四关 以解析几何中与圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题 典例1（2019·山东省实验中学高考模拟（文））已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为，椭圆O的离心率为 ． (1)求椭圆O的标准方程； (2)过B点作圆E： 的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）直线 恒过定点 . 【解析】（1）由题可知当点 在椭圆 的上顶点时， 最大，此时 ， 所以 ， 所以椭圆 的标准方程为： . （2）设过点 与圆 相切的直线方程为： ，即： ， 因为直线与圆 ： 相切，所以 ， 即得 . 设两切线的斜率分别为 ，则 ， 设 ， ， 由 ， ∴ ，即 ，∴ ； 同理： ， ； ∴ ， 所以直线 的方程为： . 整理得： ， 所以直线 恒过定点 . 【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解． 【举一反三】 【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，． （Ⅰ）若点为，求直线的方程； （Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为. 由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，. 即. 同理可得.所以：. （Ⅱ）设，则直线方程为， 直线方程为. 由可得. 因为直线与抛物线相切，所以 . 同理可得,所以，时方程的两根. 所以，. 则 . 又因为，则， 所以 . 类型二 与圆有关的面积问题 典例2 （2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆的离心率为 ，过椭圆 的左焦点 ，且斜率为1的直线 ，与以右焦点 为圆心，半径为 的圆 相切. （1）求椭圆 的标准方程； （2）线段 是椭圆 过右焦点 的弦，且 ，求 的面积的最大值以及取最大值时实数 的值. 【答案】（1） ；（2）3，1. 【解析】（1）设 ， ， 则直线 的方程为： ，即 . ∵直线 与圆 相切，∴圆心 到直线 的距离为 ，解之得 . ∵椭圆 的离心率为 ，即 ，所以 ，所以 ， ∴椭圆 的方程为 . （2）由（1）得 ， ， 由题意得直线 的斜率不为0，故设直线 的方程为： ， 代入椭圆方程 化简可得 ， 恒成立， 设 ， ，则 ， 是上述方程的两个不等根， ∴ ， . ∴ 的面积 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 设 ，则 ， ，则 ， . 令 ，则 恒成立， 则函数 在 上为减函数，故 的最大值为 ， 所以 的面积的最大值为 ，当且仅当 ，即 时取最大值， 此时直线 的方程为 ，即直线 垂直于 轴，此时 ，即 . 【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，以及弦长公式等，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键． 【举一反三】设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【解析】 (2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ . ∴|MN|＝ |x1－