专题3.3 以解析几何中与抛物线相关的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交汇问题 类型一 中点问题 典例1【江西省九江市2019第一次高考模拟统一考试】已知抛物线的焦点为，直线与相切于点， （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。 【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求． 【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））抛物线 ： ，直线 的斜率为2． （Ⅰ）若 与 相切，求直线 的方程； （Ⅱ）若 与 相交于 ， ，线段 的中垂线交 于 ， ，求 的取值范围． 类型二 垂直问题 典例2（2021·山东泰安市·）设抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点，且线段 的中点坐标为 . （1）求抛物线 的标准方程； （2）若 ， 为抛物线 上的两个动点（异于点 ），且 ，求点 的横坐标的取值范围. 【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【举一反三】【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为5. （1）求该抛物线 的方程； （2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点？并说明理由. 类型三 面积问题 典例3 （2020·山东高三专题练习）在平面直角坐标系 中，抛物线C： （ ）的焦点为 （1）动直线l过F点且与抛物线C交于M，N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为M1，点E在 上，且满足 EMBED Equation.DSMT4 连接 并延长交y轴于点D， 的面积为 ，求抛物线C的方程及D点的纵坐标； （2）点H为抛物线C准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线 , ，切点为A，B，证明直线 过定点，并求 面积的最小值. 【举一反三】【（2018·山东高考模拟】如图，在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 ： 上，直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，且直线 ， 的斜率之和为-1. （1）求 和 的值； （2）若 ，设直线 与 轴交于 点，延长 与抛物线 交于点 ，抛物线 在点 处的切线为 ，记直线 ， 与 轴围成的三角形面积为 ，求 的最小值. 类型四 范围与定值问题 典例4【湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷】已知 为坐标原点，抛物线 上在第一象限内的点 到焦点的距离为 ，曲线 在点 处的切线交 轴于点 ，直线 经过点 且垂直于 轴． （Ⅰ）求 点的坐标； （Ⅱ）设不经过点 和 的动直线 交曲线 于点 和 ，交 于点 ，若直线 ， ， 的斜率依次成等差数列，试问： 是否过定点？请说明理由． 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解． 【举一反三】（2019·山东高考模拟（文））如图，已知为抛物线上在轴下方的一点，直线，，与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为，，，与轴的正半轴分别相交于点，，，且，直线的方程为. （1）当时，设直线，的斜率分别为，，证明：； （2）求关于的表达式，并求出的取值范围. 【精选名校模拟】 1. （2021·山东滨州市·高三一模）已知点 ， ，动点 满足 ．记点 的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直线 过定点． 2. （2021·山东济宁市·高三一模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的上顶点与抛物线 ： 的焦点 重合，且抛物线 经过点 ， 为坐标原点． （1）求椭圆 和抛物线 的标准方程； （2）已知直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两点，若直