专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 类型一 中点问题 典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点 在椭圆 上，动点 都在椭圆上，且直线 不经过原点 ，直线 经过弦 的中点. （1）求椭圆 的方程和直线 的斜率； （2）求 面积的最大值. 【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求． 【举一反三】（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率为 ,原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程; （2）斜率存在且不为零的直线 与椭圆相交于 , 两点,若线段 的垂直平分线的纵截距为-1,求直线 纵截距的取值范围. 类型二 垂直问题 典例2 （2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， 为椭圆上一动点（异于左右顶点）， 面积的最大值为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 相交于点 两点，问 轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，且P到的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程。 (2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程． 类型三 面积问题 典例3 （2021·山东菏泽市·高三一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 .点 在椭圆上；直线 交 轴于点 .且 .其中 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程; （2）直线 斜率存在，与椭圆 交于 两点，且与椭圆 有公共点，求 面积的最大值. 【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁． 【举一反三】（2020·山东高三期末）已知椭圆 的离心率e满足 ，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为 ． (1)求椭圆E的方程； (2)证明： 为定值． 类型四 范围与定值问题 典例4 （2020·山东高三期末）已知椭圆 的离心率为 ， 是其右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点， . （1）求椭圆的标准方程； （2）设 ，若 为锐角，求实数 的取值范围. 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解． 【举一反三】（2020·山东高三）椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过焦点 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）点 为椭圆 上一动点，连接 、 ，设 的角平分线 交椭圆 的长轴于点 ，求实数 的取值范围. 【精选名校模拟】 1. （2020·山东高三）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦距为2，且过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，问是否存在直线 ，使得 为 的垂心，若存在，求出直线 的方程：若不存在，说明理由. 2. （2021·山东潍坊市·高三一模）在平面直角坐标系中， 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点 且它们的斜率之积是 ，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）过点 作直线 交曲线 于 两点，且点 位于 轴上方，记直