专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题三 压轴解答题 第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题 【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如． 1. 以“平行”为背景的存在判断型问题 典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB= AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD． (1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度． 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置． 【举一反三】（2020·山东泰安市）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD， EMBED Equation.DSMT4 是以 为斜边的等腰直角三角形，且平面 平面ABCD，点F满足， . （1）试探究 为何值时，CE//平面BDF，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值. 类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题 典例2 （2020·山东高三）如图，将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，其中 ，弧 的长为 ，AB为⊙O的直径. （1）在弧 上是否存在点 ( ， 在平面 的同侧)，使 ，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由. （2）求二面角 的余弦值 【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解． 【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由. 类型3 以“角”为背景的探索性问题 典例3 （2021·山东德州市·高三一模）如图，四边形 为梯形， ， 于 ， 于 ， ， ， ，现沿 将 折起，使 为正三角形，且平面 平面 ，过 的平面与线段 、 分别交于 、 ． （1）求证： ； （2）在棱 上（不含端点）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，请确定 点的位置；若不存在，说明理由． 【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法． 【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱 中， 且 ，E是棱 上动点，F是 中点. （Ⅰ）当E是中点C 时，求证：CF 平面 AE ； （Ⅱ）在棱 上是否存在点E，使得平面AE 与平面ABC所的成锐二面角为 ，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由. 【精选名校模拟】 1. （2020·山东高三）在三棱锥， 中， 平面 ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点. （1）证明：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，指出点 的位置并给出证明，若不存在，说明理由； （3）若 ，求二面角 的大小. 2. （2020·山东高三）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为 ，③∠ABC ． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F． （1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF 平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求