2021届高考数学二轮复习数列知识汇总

等差数列和等比数列 知识点 等差数列 等比数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项开始每一项与前一项的差是同一个常数，则这个数列叫做等差数列. 这个常数叫做这个数列的公差，通常用字母 表示 一般地，如果一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是同一个非零常数，则这个数列叫做等比数列. 这个非零常数叫做这个数列的公比，通常用字母 表示 定义式 公差（比） 中项 如果 三个数成等差数列，则称 为 的等差中项，有： 如果 三个数成等比数列，则称 为 的等比中项，有： 通项公式 （累加法推导） （累乘法推导） 图像特征 y轴右侧某条直线上距离相等的点 指数曲线或“在两条关于x轴对称的指数曲线上摆动” 性质 . （“斜率”） . 特别地，当 ； 与首尾等距离的两项之和相等. 等差数列单调性仅与公差 有关： 若 、 是等差数列，则以下数列均是等差数列： ， EMBED Equation.DSMT4 （开方注意正负！） ； 特别地，当 ； 与首尾等距离的两项之积相等. 等比数列的单调性跟 和 有关： 摆动数列 递减 常数列 (不含0项) 递增 递增 递减 若 是等比数列，则下列数列均是等比数列： 、 、 ， ， ， . 判定方法 解答题推导依据：定义法；中项法 灵活方法： 通项法；和式法；生成法 二者转化 ； ； EMBED Equation.DSMT4 。 前 项和 等差数列前 项和 等比数列前 项和 公式 特别地，当 时， ， 公式推导 倒序相加法 错位相减法 性质 最值讨论方法： ① 图象“对称轴”；② 正负变化临界情况； . 也是等差数列，公差为. 特别地， 为偶数 时 为偶数 时 （中间项） （中间两项） 另： ； EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 . ，…（不含0项时） 成等比数列，公比为 ； （仅当 ，且 为偶数时，上述数列是常数数列0，结论不成立.故大多数情况计算时可直接用此结论.） ； ， 当等比数列项数为偶数时， ； 另：等比数列前n项积 （推导：倒序相乘法） 等比数列前n项之积： 数列求和与求通项问题 ★★★数列求和方法 方法1 求和公式法 1.等差数列求和公式： ； 2.等比数列求和公式： ； 3.几个拓展公式： ① . ② .③ . 方法2 倒序相加法 如果一个数列 满足与首末两项等“距离”的两项的和相等（或等于同一常数）,那么这个数列的前n项和,可以用倒序相加法.典型用法：等差数列前n项和公式的推导. 方法3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可以用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.如等比数列前n项和公式的推导. 方法4 裂项相消法 可以把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以互相抵消,从而求得其和. 注意记住几个常见的裂项变形，技巧过强的无需深究！ 方法5 分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加. 方法6 并项求和法 一个数列的前n项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称之为并项求和.形如 类型,可采用并项法求解. 方法7 分段讨论法 当一个数列的通项公式出现前后不同或奇偶项不同时，需要分段求和. ★★★数列求通项 方法1 归纳法 适合于选填题。对于已知前几项，归纳、猜想数列的通项公式，主要难点在于将“规律”用代数式表示；为确保不出错，一般可通过特殊项检验。 方法2 公式法 等差数列、等比数列利用通项公式求解，关键确定两个基本量 . 如果能灵活运用等差、等比数列的性质，可以更有效率。 方法3 与 关系 1.条件中出现 的表达式或含 的等式。这是数列解答题中最常见的题型！ 2.实际上是方程思想的运用,一般步骤： ①根据 时， ，求 ； ②根据 时， ，求 ③检验 时，通项公式能否统一，写出 时的通项公式；如有必要，须分段写出.（易错点） 3.两种基本方向：①消 （代入消元）；②消 （加减消元）. 方法4 累加法 型.运用恒等式： . 类似地，对 型条件的处理： ，然后分奇偶项累加处理.还可运用“构造法”处理. 方法5 累乘法 型.运用恒等式： . 类似地，对 型条件的处理： ，然后分奇偶项累乘处理. 方法6 构造法 构造法① 形如 型， 其中 为常数 思路分析：r、s为给定常数 ①“迭代作差”构造等比数列 ，然后再用累加法，可得； ②“待定系数法”构造等比数列 ，可