专题20函数与相似综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题19函数与相似综合问题 经典例题 【例1】如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BCCD． （1）求b，c的值； （2）求直线BD的函数解析式； （3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解； （2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解． 【解析】（1）∵BO＝3AO＝3， ∴点B（3，0），点A（﹣1，0）， ∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣3）x2x， ∴b，c； （2）如图1，过点D作DE⊥AB于E， ∴CO∥DE， ∴， ∵BCCD，BO＝3， ∴， ∴OE， ∴点D横坐标为， ∴点D坐标为（，1）， 设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线BD的函数解析式为yx； （3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（，1）， ∴AB＝4，AD＝2，BD＝22，对称轴为直线x＝1， ∵直线BD：yx与y轴交于点C， ∴点C（0，）， ∴OC， ∵tan∠CBO， ∴∠CBO＝30°， 如图2，过点A作AK⊥BD于K， ∴AKAB＝2， ∴DK2， ∴DK＝AK， ∴∠ADB＝45°， 如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0）， 若∠CBO＝∠PBO＝30°， ∴BNPN＝2，BP＝2PN， ∴PN，BP， 当△BAD∽△BPQ， ∴， ∴BQ2， ∴点Q（1，0）； 当△BAD∽△BQP， ∴， ∴BQ4， ∴点Q（﹣1，0）； 若∠PBO＝∠ADB＝45°， ∴BN＝PN＝2，BPBN＝2， 当△DAB∽△BPQ， ∴， ∴， ∴BQ＝22 ∴点Q（1﹣2，0）； 当△BAD∽△PQB， ∴， ∴BQ22， ∴点Q（5﹣2，0）； 综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）． 【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x（2t﹣t），即可求解； （2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即可求解． 【解析】（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则x（2t﹣t），解得：t＝1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2）， 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1， ∴点D（1，2）； （3）存在，理由： 点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2， 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 则，即或2，即或2， 解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去）， 故m＝1或． 【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点