专题19函数与面积最值问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题18函数与面积最值问题 经典例题 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H （1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标； （2）连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标； （3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标． 【分析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①过点C作CE∥AD交抛物线于点E，则△ADE与△ACD面积相等；②过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，分别求解即可． （3）分△ACH∽△CPQ、△ACH∽△PCQ两种情况，求解即可． 【解析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 函数的对称轴为：x1， 则点C的坐标为（﹣1，4）； （2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H， 则△ADE与△ACD面积相等， 直线AD过点D，则其表达式为：y＝mx+3， 将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3m+3，解得：m＝1， 则直线AD的表达式为：y＝x+3， CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1， 设直线CE的表达式为：y＝x+n， 将点C的坐标代入上式得：4＝﹣1+n，解得：n＝5， 则直线CE的表达式为：y＝x+5…②， 则点H的坐标为（0，5）， 联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝1为点C的横坐标）， 即点E的坐标为（﹣2，3）； 在y轴取一点H′，使DH＝DH′＝2， 过点H′作直线E′E″∥AD， 则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等， 同理可得直线E′E″的表达式为：y＝x+1…③， 联立①③并解得：x， 则点E″、E′的坐标分别为（，）、（，）， 点E的坐标为：（﹣2，3）或（，）或（，）； （3）设：点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3， 把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：， 即直线CD的表达式为：y＝﹣x+3…④， 直线AD的表达式为：y＝x+3， 直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为﹣1，故AD⊥CD， 而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同， 同理可得直线PQ表达式为：y＝x+n﹣m…⑤， 联立④⑤并解得：x，即点Q的坐标为（，）， 则：PQ2＝（m）2+（n）（m+1）2•m2， 同理可得：PC2＝（m+1）2+[1+（m+1）2]， AH＝2，CH＝4，则AC＝2， 当△ACH∽△CPQ时， ∴， 即：4PC2＝5PQ2， 整理得：3m2+16m+16＝0，解得：m＝﹣4或， 点P的坐标为（﹣4，﹣5）或（，）； 当△ACH∽△PCQ时， 同理可得：点P的坐标为（，）或（2，﹣5）， 故：点P的坐标为：（﹣4，﹣5）或（，）或（，）或（2，﹣5）． 【例2】如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式； （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APCx2x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【解析】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC