专题18函数与动点综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题18函数与动点综合问题 经典例题 【例 1】如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标． 【分析】（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式； （2）由点A、B的坐标可知OB＝OA，从而可求得∠BAO＝45°，然后分为∠PQA＝90°和∠QPA＝90°两种情况求解即可； （3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE＝FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE＝FQ列方程求解即可． 【解析】（1）∵y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y＝0时，x＝3，即A点坐标为（3，0），当x＝0时，y＝3，即B点坐标为（0，3）． ∵将A（3，0），B（0，3）代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°， ∴∠QAP＝45°． 如图①所示：∠PQA＝90°时． 设运动时间为t秒，则QAt，PA＝3﹣t． 在Rt△PQA中，，即． 解得：t＝1． 如图②所示：∠QPA＝90°时． 设运动时间为t秒，则QAt，PA＝3﹣t． 在Rt△PQA中，，即． 解得：t． 综上所述，当t＝1或t时，△PQA是直角三角形． （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP＝3﹣t．点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），则FQ＝4t﹣t2﹣t＝3t﹣t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴四边形EFQP为平行四边形． ∴EP＝FQ，即3﹣t＝3t﹣t2． 解得：t1＝1，t2＝3（舍去）． 将t＝1代入得点F的坐标为（2，3）． 【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB＝1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）． （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当t＝0时，求S△OBN的值； （3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 【分析】（1）根据点E、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）找出当t＝0时，点B、N的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公式可求出S△OBN的值； （3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况考虑：①当0＜t≤4时（图1），找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值；②当4＜t≤5时，找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值．将①②中的S的最大值进行比较，即可得出结论． 【解析】（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y＝ax2+bx， ，解得：， ∴抛物线的表达式为yx2+2x． （2）当t＝0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，）， ∴BN，OB＝1， ∴S△OBNBN•OB． （3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0）， ∴点M的坐标为（t，t2+2t），点N的坐标为（t+1，（t+1）2+2（t+1））， ∴AMt2+2t，BN（t+1）2+2（t+1）， ∴S（AM+BN）•AB1×[t2+2t（t+1）2+2（t+1）]， t2t， （t）2， ∵0， ∴当t＝4时，S取最大值，最大值为； ②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，