专题17函数与圆综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题17函数与圆综合问题 经典例题 【例1】如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：yx+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线l是⊙M的切线； （3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式； （2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG＝∠ABD，故此可证明AM⊥AB； （3））先证明∠FPE＝∠FBD．则PF：PE：EF：2：1．则△PEF的面积PF2，设点P的坐标为（x，x2x），则F（x，x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可． 【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a． ∴抛物线的解析式为yx2x． （2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G． 把x＝0代入yx+4得：y＝4， ∴A（0，4）． 将y＝0代入得：0x+4，解得x＝8， ∴B（8，0）． ∴OA＝4，OB＝8． ∵M（﹣1，2），A（0，4）， ∴MG＝1，AG＝2． ∴tan∠MAG＝tan∠ABO． ∴∠MAG＝∠ABO． ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°． ∴l是⊙M的切线． （3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°， ∴∠FPE＝∠FBD． ∴tan∠FPE． ∴PF：PE：EF：2：1． ∴△PEF的面积PE•EFPF•PFPF2． ∴当PF最小时，△PEF的面积最小． 设点P的坐标为（x，x2x），则F（x，x+4）． ∴PF＝（x+4）﹣（x2x）x+4x2xx2x（x）2． ∴当x时，PF有最小值，PF的最小值为． ∴P（，）． ∴△PEF的面积的最小值为（）2． 【例2】已知，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线； （3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACPS△ACD，求点P的坐标； （4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）由对称轴求出B的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D的坐标； （2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°．得出AD为△ACD外接圆的直径，再证明△AED为直角三角形，∠ADE＝90°．得出AD⊥DE，即可得出结论； （3）求出直线AC的解析式，再求出线段AD的中点N的坐标，过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，求出直线NP的解析式，与抛物线联立，即可得出答案； （4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案． 【解析】（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝1，点A（3，0）， ∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA＝3， 将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； 当x＝1时，y＝4， ∴顶点D（1，4）． （2）当x＝0时， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴AC3，CD，AD2， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°． ∴AD为△ACD外接圆的直径， ∵点E在 轴C点的上方，且CE． ∴E（0，） ∴AEDE， ∴DE2+AD2＝AE2， ∴△AED为直角三角形，∠ADE＝90°． ∴AD⊥DE， 又∵AD为△ACD外接圆的直径， ∴DE是△ACD外接圆的切线； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∵A（3，0），D（1，4）， ∴线段AD的中点N的坐标为（2，2）， 过点N作NP∥AC，交抛物线于点P， 设直线NP的解析式为y＝﹣x+c， 则﹣2+c＝2，解得：c＝4， ∴直线NP的解析式为y＝﹣x+4， 由y＝﹣x+4，y＝﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3＝﹣x+4， 解得：x或x，