专题16函数与矩形菱形正方形综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题16函数与矩形菱形正方形综合问题 经典例题 【例1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解； （2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解； ②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解； （3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标． 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图： ①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD OB•PDm2m （m）2． ∴当m时，S有最大值． 当m时，m2﹣4m+3． ∴P（，）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1）， ∴EF＝CF＝2， ∴EC＝2， 根据菱形的四条边相等， ∴ME＝EC＝2， ∴M（2，1﹣2）或（2，1+2） 当EM＝EF＝2时，M（2，3） 答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可； （2）由△CMD∽△FMP，可得m，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时； 【解析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点， 所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵OC＝2OA，OA＝2， ∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a， ∴y（x+2）（x﹣4）或yx2+x+4或y（x﹣1）2． （2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F． ∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m， ∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（n，n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PFn2+n+4﹣（﹣n+4）（n﹣2）2+2， ∴m（n﹣2）2， ∵0， ∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）． （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时， 有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k， ∴直线DP的解析式为yx+1，可得D（0，1），E（，0）， 由△DOE∽△QOD可得， ∴OD2＝OE•OQ， ∴1•OQ， ∴OQ， ∴Q（，0）． 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2，4﹣1