专题15函数与平行四边形综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题15函数与平行四边形综合问题 经典例题 【例1】如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH＝45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标． 【解析】 （1）∵矩形OBDC的边CD＝1， ∴OB＝1， ∵AB＝4， ∴OA＝3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）在yx2x+2中，令y＝2可得2x2x+2，解得x＝0或x＝﹣2， ∴E（﹣2，2）， ∴直线OE解析式为y＝﹣x， 由题意可得P（m，m2m+2）， ∵PG∥y轴， ∴G（m，﹣m）， ∵P在直线OE的上方， ∴PGm2m+2﹣（﹣m）m2m+2（m）2， ∵直线OE解析式为y＝﹣x， ∴∠PGH＝∠COE＝45°， ∴lPG[（m）2]（m）2， ∴当m时，l有最大值，最大值为； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN＝AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L， 则∠ALF＝∠ACO＝∠FNM， 在△MFN和△AOC中 ∴△MFN≌△AOC（AAS）， ∴MF＝AO＝3， ∴点M到对称轴的距离为3， 又yx2x+2， ∴抛物线对称轴为x＝﹣1， 设M点坐标为（x，y），则|x+1|＝3，解得x＝2或x＝﹣4， 当x＝2时，y，当x＝﹣4时，y， ∴M点坐标为（2，）或（﹣4，）； ②当AC为对角线时，设AC的中点为K， ∵A（﹣3，0），C（0，2）， ∴K（，1）， ∵点N在对称轴上， ∴点N的横坐标为﹣1， 设M点横坐标为x， ∴根据中点坐标公式：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3，解得x＝﹣2，此时y＝2， ∴M（﹣2，2）； 综上可知点M的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）． 【例2】一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2（k为常数，k≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA．已知OC＝2，tan∠OAC，B（m，﹣2）． （1）求此反比例函数的关系式． （2）结合图象写出：当ax+b0时，x的取值范围． （3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标． 【分析】（1）由tan∠OAC，解得AC＝3，求出点A（2，3），进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【解析】（1）连接OA，tan∠OAC，解得AC＝3， 故点A（2，3）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得k＝6， 故反比例函数表达式为y2； （2）将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣3，故点B（﹣3，﹣2）， 从图象看，当ax+b0时，x的取值范围x＞2或﹣3＜x＜0； （3）点A、B、C的坐标分别为（2，3）、（﹣3，﹣2）、（2，0），设点D（m，n）， ①当AB是边时， 点B向右平移5个单位向上平移5个单位得到点A，同样点C（D）向右平移5个单位向上平移5个单位得到点D（C）， 则m±5＝2，n±5＝0，解得， 即点D的坐标为（﹣3，﹣5）或（7，5）； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：（2﹣3）（m+2），（3﹣2）（n+0），解得， 故点D的坐标为（﹣3，1）； 综上，点D的坐标为（﹣3，﹣5）或（7，5）或（﹣3，1）． 【例3】如图，一次函数yx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y（k≠0）的图象的一个交点为A（2，m）． （1）直接写出反比例函数的解析