专题14函数与直角三角形综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题14函数与直角三角形综合问题 经典例题 【例1】如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？ （3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式； （2）分两种情况进行计算即可； （3）方法1、确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y＝﹣x，根据锐角三角函数求出BD，计算即可． 方法2、设出点P的坐标，进而表示出点M坐标，即可表示出PM，最后用面积和即可得出二次函数，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点， ∴， ∴， ∴y＝﹣x2+2x+3， 设直线AB的解析式为y＝kx+n， ∵A（3，0），B（0，3） ∴， ∴， ∴y＝﹣x+3； （2）由运动得，OE＝t，AFt， ∵OA＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝3﹣t， ∵△AEF和△AOB为直角三角形，且∠EAF＝∠OAB， ①如图1， 当△AOB∽△AEF时， ∴， ∴， ∴t， ②如图2， 当△AOB∽△AFE时， ∴， ∴， ∴t＝1； （3）如图，存在， 过点P作PC∥AB交y轴于C， ∵直线AB解析式为y＝﹣x+3， ∴设直线PC解析式为y＝﹣x+b， 联立， ∴﹣x+b＝﹣x2+2x+3， ∴x2﹣3x+b﹣3＝0 ∴△＝9﹣4（b﹣3）＝0 ∴b， ∴BC3，x， ∴P（，）． 过点B作BD⊥PC， ∴直线BD解析式为y＝x+3， ∴BD， ∴BD， ∵AB＝3 S最大AB×BD3． 即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）． 方法2、如图②， 过点P作PN⊥x轴于N，交AB于M， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴M（m，﹣m+3）， ∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m， ∴S＝S△PAB＝S△PAM+S△PBM（﹣m2+3m）×3（m2﹣3m）（m）2， ∴当m时，S最大，此时，P（，）． 【例2】如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴． （2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值． （3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令x＝0和y＝0代入抛物线的解析式中，可得A、B、C点坐标，根据对称性，可得对称轴； （2）根据矩形周长公式表示四边形EHDF周长，并根据二次函数的顶点式可得四边形EHDF周长的最大值； （3）分三种情况： 分三种情况： ①当∠CBP＝90°时，如图2，根据△PDB∽△BOC，列比例式得：PD＝DB，可得结论； ②当∠BCP＝90°时，如图3，根据△PCG∽△BDG，则，可得PG的长，从而写出P的坐标； ③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，根据△P1DB∽△CHP1，则，列方程可得结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， 当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， x1＝5，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（5，0）， 由对称性得：抛物线的对称轴是：x2； （2）如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5， ∴E在第四象限， ∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m2+4m+5， 设四边形EHDF周长为W， 则W＝2（EF+EH）＝2（m﹣2﹣m2+4m+5）＝﹣2m2+10m+6＝﹣2（m）2， ∵﹣2＜0， ∴当m时，四边形EHDF周长的最大值是； （3）设P（2，y）， 分三种情况： ①当∠CBP＝90°时，如图2， ∴∠PBO＝∠OCB， ∵∠PDB＝∠COB＝90°， ∴△PDB∽△BOC， ∴1， ∴PD＝DB， ∴y＝5﹣2＝3， ∴P（2，3）； ②当∠BCP＝90°时，如图3， ∵∠OBC＝45°，