专题13函数与等腰三角形综合问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题13函数与等腰三角形综合问题 经典例题 【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q． （1）求此抛物线的表达式： （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解． （2）由PN＝PQsin∠PQN（m2 m+4+m﹣4）即可求解． （3）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，当AC＝AQ时，构造直角三角形AMQ利用勾股定理可求坐标，AC＝CQ时，先求BQ再求MB，即可得到坐标，CQ＝AQ时，联立解得不合题意． 【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a， 即：﹣12a＝4，解得：a， 则抛物线的表达式为yx2x+4， （2）设点P（m，m2m+4），则点Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN（m2m+4+m﹣4）（m﹣2）2， ∵0， ∴PN有最大值， 当m＝2时，PN的最大值为． （3）存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：yx+4， 设直线AC的中点为K（，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为， 同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：yx②， ①当AC＝AQ时，如图1， 则AC＝AQ＝5， 设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n， 由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）， ②当AC＝CQ时，如图1， CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝45， 则QM＝MB， 故点Q（，）． ③当CQ＝AQ时， 联立①②，， 解得，x（舍去）， 综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，）． 【例2】在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HKKG的最小值及点H的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）首先证明△PEF∽△BCO，推出当PE最大时，△PEF的周长最大，构建二次函数，求出PE最大时，点P的坐标，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HKKG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题． （2）首先利用待定系数法求出点D′坐标，设N（1，n），∵C（0，2），D′（5，），则NC2＝1+（n﹣2）2，D′C2＝52+（2）2，D′N2＝（5﹣1）2+（n）2，分三种情形分别构建方程求出n的值即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， 对于抛物线yx2x+2，令x＝0，得到y＝2， 令y＝0，得到x2x+20，解得x＝﹣2或4， ∴C（0，2），A（﹣2，0），B（4，0）， 抛物线顶点D坐标（1，）， ∵PF⊥BC， ∴∠PFE＝∠BOC＝90°， ∵PE∥OC， ∴∠PEF＝∠BCO， ∴△PEF∽△BCO， ∴当PE最大时，△PEF的周长最大， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为yx+2，设P（m，m2m+2），则E（m，m+2）， ∴PEm2m+2（m+2）m2m， ∴当m＝2时，PE有最大值， ∴P（2，2）， 如图，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l， 作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HKKG＝PH+HK+KM′≥PM， ∵P（2，2）， ∴∠POB＝60°， ∵∠MOG＝30°， ∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°