专题12函数的应用问题-2021中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题12函数的应用问题 经典例题 【例1】推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． （1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？ （2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用． 【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可． （2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②把问题转化为不等式解决即可． ②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可． 【解析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元， 由题意，， 解得x＝2000， 经检验，x＝2000是分式方程的解． 答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元． （2）①设甲平整x天，则乙平整y天． 由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②， 由①得到y＝80﹣1.5x③， 把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000， 解得，x≥40， ∵y＞0， ∴80﹣1.5x＞0， x＜53.3， ∴40≤x＜53.3， ∵x，y是正整数， ∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2． ∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能． ②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000， ∵﹣250＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）． 答：最低费用为107000元． 【例2】已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为　40　千米/时，a的值为　480　． （2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480； （2）运用待定系数法解得即可； （3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可． 【解析】（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）； a＝40×6×2＝480， 故答案为：40；480； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480）， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）； （3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x； 两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时． 【例3】在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2． （1）y关于x的函数关系式是　y　，x的取值范围是　x＞0　； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值． 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论． 【解析】（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2， ∴xy＝2， ∴xy＝4， ∴y关于x的函数关系式是y， x的取值范围为x＞0， 故答案为：y，x＞0； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，