专题2 培优点8 向量共线定理的应用-2021【步步高】高考文科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点8　向量共线定理的应用 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． 例1　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．3∶4 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶2 答案　C 解析　∵|3－－|＝0，∴3－－＝0，∴＋＝3. 设BC的中点为G，则＋＝2， ∴3＝2，即＝， ∴点M在线段AG上，且＝. ∴＝＝，易得＝＝， ∴＝·＝×＝， 即△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. (2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　 解析　方法一　∵B，P，N三点共线， ∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)， ∴－＝λ(－)， ∵λ>0，∴＝＋. ∵＝，＝m＋， ∴＝m＋， ∴解得 方法二　∵＝，＝m＋， ∴＝m＋. ∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. 例2　(1)(2020·成都质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　如图，设＝λ(λ>0)， 又＝＋＝＋， ∴＝λ＋λ＝λ＋λ. 又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1， ∴λ＝，∴＝＋. (2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________． 答案　 解析　由D为BC的中点知，＝＋， 又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点， 故＝＝＋， ∵M，E，N三点共线，∴＋＝1， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋ ≥2＋＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． ∴4x＋y的最小值为. (1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置． 1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y， ∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，① 同理，＝2x＋y， ∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，② 由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝. 2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________． 答案　 解析　∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)． ∵N为AM的中点， ∴＝＝x＋y＝λ＋μ. ∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 3．已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过D的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________． 答案　 解析　因为2＋＝0，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 因为D，E，F三点共线， 所以可设＝x＋(1－x)＝xλ＋(1－x)μ， 所以xλ＋(1－x)μAC＝＋， 根据平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝， 所以x＝，1－x＝，所以＋＝1， 所以λ＋μ＝(λ＋μ)·＝≥，当且仅当λ＝μ＝时等号成立． 即λ＋μ的最小值为. $