第1章 专题2 多面体的外接球（达标训练）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 4 专题 2 多面体的外接球 基础自测 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A C C C D D C C D A B A C A 题号 15 16 17 18 19 答案 C C A C D 【部分解析】 15． 2 5 2 5 221  RlRR ，故 6 125 3 4 3   RV ，故选 C． 16．球顶高最大原理，底面为直角三角形，典型的切瓜模型， 11 R ， 4 5 R ， 1 2  l ，故根据双半径单交线 公式定理可得 4 5 2 R ， 2)( 2 1 2 2 2 2  hRRRh ，故 3 2222 2 1 3 1 max V ，故选 C． 17．切瓜模型，BAC的外接圆半径为 11 R ，且交线 12 2  lAC ，故 3 2 60sin 2 2 1 2   RR ，故选 A． 18．和 3题一样，属于 12 Rl  模型，故选 C． 19． 1 21  lR ， 3 2 3 4 60sin 222   RRRR ，故 27 332 3 4 3   RV ，故选 D． 达标训练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D C C D B C D C A D D B D C 15．52 16． 630 13  17． 2 2 18．12 【部分解析】 1．【解析】法一：按照直三棱柱切割体模型理解， 2h ，且 1r ， 2) 2 ( 22  rhR ，该几何体外接球 的表面积为 24 ( 2) 8   ．故选D． 法二：垂直平面模型，按照双半径单交线公式 2 11 lR  ， 22  RR ，故选 D． 2．【解析】如图，由 1, 3AB DA  ， 2BD  ，得 AD AB ，取 BD中点G，则G为 ABD 的外心， 设正三角形 BDE得外心为O，可知当平面 ABD 平面 BDE时，满足球顶高最大模型，此时三棱锥 E ABD 的外接球的半径有最小值为 2 3 3 OE  ．三棱锥 E ABD 的外接球的最小表面积为 22 3 164 ( ) 3 3    ． 故选C ． 学习数学 领悟数学 秒杀数学 5 第 2题 第 3题 第 4题 第 5题 第 6题 3. 【解析】如图，两两垂直为长方体切割体模型，设 AB AC x  ， 1AA y ，则三棱柱的侧面积为 2 2 2 1xy xy   ，得 2 2 xy  ．把三棱锥补形为长方体，则其对角线长为 2 22 2 2 2x y xy � ．当 且仅当 2x y ，即 2 2 x  ， 1y  时上式取“ ”．三棱锥外接球半径的最小值为 2 2 ，表面积的最小值为 224 ( ) 2 2    ．故选：C． 4. 【解析】鳖臑模型，由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到长方体中，AB 平面 BCD， 2AB BD CD   ，可得长方体的对角线为 2 2 22 2 2 2 3   ．球 O的半径 3R  ．球 O 的表面积 24 12S R   ．故选 D． 5. 【解析】法一：由于四边形 ABCD为矩形，得 AB AD ，又 SA AD ，且 SA AB A  ， AD 平面 SAB， 则平面 SAB 平面 ABCD，设三角形 SAB的外心为G，则 2 3 3 2 2sin 2sin120 3 2 ABr GA ASB        ．过G作 GO 底面 SAB，且 1 2 hOG   ，则 2 2 2 2( ) 2 1 5 2 hOS r     ． 24 ( 5) 20S     ．故选 B． 法二：双半径交单线模型：设三角形 SAB的外接圆 1 2 3 2 2sin 2sin120 ABR ASB      ， ABCD为矩形，故其外 接圆 22 R ， 32  l ，故 5 4 2 2 2 2 1 2  lRRR ， 4 5 20S     ．故选 B． 6. 【解析】对边相等的四面体，还原为长方体，如图所示，将四面体 ABCD放在长方体 AEBF GCHD 内， 7. 设该长方体的长、宽、高分别为 x、 y、 z，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长 方体的外接球半径为 R，由勾股定理得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 AB x y AC x z AD y z       